线性代数知识点总结

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1、线性代数知识点总结第一章行列式第一节：二阶与三阶行列式把表达式称为所确定的二阶行列式，并记作，即结果为一个数。（课本P1）同理，把表达式称为由数表所确定的三阶行列式，记作。即=二三阶行列式的计算：对角线法则（课本P2，P3）注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。利用行列式计算二元方程组和三元方程组：对二元方程组设则，（课本P2）对三元方程组，设，21，，，则，，。（课本上没有）注意：以上规律还能推广到n元线性方程组的求解上。第二节：全排列及其逆序数全排列：把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）。n个不同的元素的所有排列的总数，通常用Pn(或An)表示。

2、（课本P5）逆序及逆序数：在一个排列中，如果两个数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称它们构成一个逆序，一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。排列的奇偶性：逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。（课本P5）计算排列逆序数的方法：方法一：分别计算出排在前面比它大的数码之和即分别算出这n个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数。方法二：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数。（课本上没有）第三节：n阶行列式的定义定义：n阶行列式等于

3、所有取自不同行、不同列的n个元素的乘积的代数和，其中p1p2…pn是1，2，…，n的一个排列，每一项的符号由其逆序数决定。也可简记为，其中为行列式D的（i，j元）。（课本P6）根据定义，有说明：1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程21组的需要而定义的;2、n阶行列式是项的代数和;3、n阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n个元素的乘积;4、的符号为，t的符号等于排列的逆序数5、一阶行列式不要与绝对值记号相混淆。推论1：上，下三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积。即推论2：主对角行列式的值等于其对角线上各元的乘积，副对角行列式的值等于

4、乘以其副对角线上各元的乘积。即，（上述二推论证明课本P7例6）第四节：对换定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对调，叫做相邻对换。（课本P8）定理1　一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。（上述二定理证明课本P8）定理2n阶行列式的项可以写为，其中q1q2…qn是行标排列，p1p2…pn是列标排列。（证明课本P9）推论设有n阶行列式，则或或（行列式三种不同表示方法）推论在全部阶排列中，奇偶排列各占一半。证明设在全部阶排列中有个奇排列，个偶

5、排列，现来证。将个奇排列的前两个数对换，则这个奇排列全变成偶排列，并且它们彼此不同，所以。若将t个偶排列的前两个数对换，则这个偶排列，全变成奇排列，并且它们彼此不21同，于是有。综上有s=t。第五节：行列式的性质定义记，，行列式称为行列式的转置行列式。性质1行列式与它的转置行列式相等。（证明课本P9）说明行列式中行与列具有同等地位，因此凡是对行成立的行列式的性质的对列也成立。性质2互换行列式的两行或列，行列式变号。（证明课本P10）推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式；推论1的某一行（列）中所

6、有元素的公因子可以提到的外面;推论2中某一行（列）所有元素为零，则。性质4　行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．（证明课本P10）性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变。（课本P11）计算行列式常用方法：①利用定义；②利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值。说明行列式中行与列具有同等的地位，行列式的6个性质凡是对行成立的对列也同样成立。第六节行列式按行（列）展开余子式在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子

7、式，记作。21代数余子式，叫做元素的代数余子式。（课本P16）引理一个阶行列式，如果其中第行所有元素除（i，j）元外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即。（证明课本P16）定理阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即，，。（证明课本P17）扩展范德蒙德(Vandermonde)行列式的证明见课本P18展开定理推论阶行列式的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即（证明课本P19）第七节克拉默法则如果线性方程组的系数行