07第八章 第7节 多元函数的极值及其求法

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1第七节多元函数的极值与最值一、问题的提出二、多元函数的极值和最值三、条件极值拉格朗日乘数法四、内容小结 2 3实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖元，外地牌子的每瓶卖元，则每天可卖出瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？每天的收益为求最大收益即为求二元函数的最大值.一、问题的提出 4二、多元函数的极值和最值 51、二元函数极值的定义 66例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值. 72、多元函数取得极值的条件证 8 9仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.驻点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意： 10 11例4.求函数解:第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;在点(1,2)处不是极值;解方程组的极值.求二阶偏导数 12例4求函数驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.的极值. 13例5.讨论函数及是否取得极值.解:显然(0,0)都是它们的驻点,并且在(0,0)都有在(0,0)点邻域内的取值可能为因此z(0,0)不是极值.因此当时,为极小值.正负0在点(0,0) 14 15求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.3、多元函数的最值 16解如图, 17 18 19解由 20无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件. 21例8.解:设水箱长,宽分别为x,ym,则高为水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为,高为时，水箱所用材料最省。 22实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为．设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．问题的实质：求在条件下的极值点．三、条件极值拉格朗日乘数法 23条件极值极值问题无条件极值:对自变量只有定义域的限制条件极值:对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制条件极值的求法.在条件下,求函数的极值.方法一代入法从条件中解出求一元函数在条件下,求函数的极值转化的无条件极值问题 24方法二.拉格朗日乘数法在条件下,求函数的极值.分析:设条件方程则问题等价于一元函数极值点必满足可确定隐函数极值问题,极值点必满足故 25在条件下,求函数的极值.引入辅助函数极值点必满足辅助函数F称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法. 26推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,求函数下的极值.在条件 27例9要设计一个容量为的长方体开口水箱,试问水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？使则问题为求令解方程组得由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用材料最省。解:设分别表示长,宽,高,下水箱表面积最小.在条件因此,当高为 28解则 29解 30 31 32可得即 33四、内容小结1.函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法；如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法。 34设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步判别•比较驻点及边界点上函数值的大小•根据问题的实际意义确定最值第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件)3.函数的最值问题在条件求驻点. 35练习与思考题解答： 3636已知平面上两定点A(1,3),B(4,2),试在椭圆圆周上求一点C,使△ABC面积S△最大.解答提示:设C点坐标为(x,y),2、则 3737设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知，点C与E重合时,三角形面积最大。 38383、某公司的两个工厂生产同样的产品但所需成本不同，第一个工厂生产件产品和第二个工厂生产件产品时的总成本是;若公司的生产任务是500件，问如何分配任务才能使总成本最小。解：根据题意是求在条件下的极值。作辅助函数：代入得：根据题意可知：当第一个工厂生产125件产品，第二个工厂生产375件产品该公司的总成本最低。 39二、多元函数的极值和最值 40二、多元函数的极值和最值 41二、多元函数的极值和最值 42二、多元函数的极值和最值 43二、多元函数的极值和最值 44二、多元函数的极值和最值 45二、多元函数的极值和最值 46二、多元函数的极值和最值 47二、多元函数的极值和最值