弹性力学第6章--用有限单元法求平面问题

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第六章用有限元法解平面问题第五节单元的结点力列阵与劲度矩阵第四节单元的应变列阵和应力列阵第三节单元的位移模式与解答的收敛性第二节有限单元法的概念第一节基本量及基本方程的矩阵表示概述第六节荷载向结点移置单元的结点荷载列阵 第六章用有限元法解平面问题例题第十一节应用变分原理导出有限单元法的基本方程第十节计算实例第九节计算成果的整理第八节解题的具体步骤单元的划分第七节结构的整体分析结点平衡方程组 1、有限元法（FiniteElementMethod）FEM2、FEM的特点概述(1)具有通用性和灵活性。首先将连续体变换为离散化结构，然后再利用分片插值技术与虚功原理或变分方法进行求解。简称FEM，是弹性力学的一种近似解法。(2)对同一类问题,可以编制出通用程序,应用计算机进行计算。(3)只要适当加密网格，就可以达到工程要求的精度。3、FEM简史1943年柯朗(Currant)第一次提出了FEM的概念。FEM是上世纪中期才出现，并得到迅速发展和广泛应用的一种数值解法。 简史1956年,特纳(Tunner)等人提出了FEM。上世纪50年代,平面问题的FEM建立,并应用于工程问题。1960年提出了FEM的名称。上世纪60年代后,FEM应用于各种力学问题和非线性问题,并得到迅速发展。3、FEM简史1943年柯朗(Currant)第一次提出了FEM的概念。FEM是上世纪中期才出现，并得到迅速发展和广泛应用的一种数值解法。上世纪70年代后,FEM被引入我国,并很快地得到应用和发展。5、本章介绍平面问题的FEM4、FEM的主要导出方法应用静力方法或变分方法导出。仅叙述按位移求解的方法。且一般都以平面应力问题来表示。 §6-1基本量和基本方程的矩阵表示本章无特别指明,均表示为平面应力问题的公式。采用矩阵表示,可使公式统一、简洁,且便于编制程序。1、基本物理量的矩阵表示体力:位移函数:应变:应力:结点位移列阵:结点力列阵:面力:基本物理量 (2)物理方程:2、FEM中应用的方程(1)几何方程:应用的方程其中,D为弹性矩阵,对于平面应力问题是:(3)虚功方程:为结点虚位移及对应的虚应变。其中，在FEM中用结点的平衡方程代替平衡微分方程,后者不再列出。 (3)整体分析。§6-2有限单元法的概念FEM的概念，可以简述为：FEM的概念(1)将连续体变换为离散化结构(结构的离散化)；(2)单元分析；FEM的分析过程：该方法的理论基础是分片插值技术与变分原理。采用有限自由度的离散单元组合体模型去描述实际具有无限自由度的考察体，是一种在力学模型上进行近似的数值计算方法。 结构力学研究的对象是离散化结构。如桁架，各单元(杆件)之间除结点铰结外，没有其他联系(图(a))。弹力研究的对象，是连续体(图(b))。结构离散化1.结构离散化FEM的分析过程(1)将连续体变换为离散化结构(图(c))：即将连续体划分为有限多个、有限大小的单元，并使这些单元仅在一些结点处用绞连结起来，构成所谓“离散化结构”。 图(c)与图(a)相比,两者都是离散化结构；区别是，桁架的单元是杆件，而图(c)的单元是三角形块体（注意:三角形单元内部仍是连续体）。结构离散化比如：将深梁划分为许多三角形单元，这些单元仅在角点用铰连接起来。将连续体变换为离散化结构(图(c))：即将连续体划分为有限多个、有限大小的单元，并使这些单元仅在一些结点处用绞连结起来，构成所谓“离散化结构”。1.结构离散化FEM的分析过程(1) 2.单元分析求解方法每个三角形单元仍然假定为连续的、均匀的、各向同性的完全弹性体。因单元内部仍是连续体，应按弹性力学方法进行分析。取各结点位移为基本未知量，然后对每个单元,分别求出各物理量,并均用来表示。FEM的分析过程(2)(1)应用插值公式,由单元结点位移,求单元的位移函数该插值公式称为单元的位移模式,记为单元分析的主要内容：(2)应用几何方程,由单元的位移函数d,求出单元的应变 求解方法(4)应用虚功方程,由单元的应力,求出单元的结点力表示为(3)应用物理方程,由单元的应变,求出单元的应力其中，为结点对单元的作用力，作用于单元，称为结点力，以正标向为正。2.单元分析FEM的分析过程(2)(1)应用插值公式,由单元结点位移,求单元的位移函数该插值公式称为单元的位移模式,记为单元分析的主要内容：(2)应用几何方程,由单元的位移函数d,求出单元的应变(5)将每一单元中的各种外荷载,按虚功等效原则移置到结点上,化为结点荷载 为已知值,是用结点位移表示的值。各单位移置到i结点上的结点荷载求解方法3.整体分析各单元对i结点的结点力作用于结点i上的力有：FEM的分析过程(3)其中,表示对围绕i结点的单元求和；通过求解联立方程，得出各结点位移值，从而求出各单元的应变和应力。 求解方法3.整体分析2.对单元进行分析1.将连续体变换为离散化结构归纳起来，FEM分析的主要步骤：（1）单元的位移模式（2）单元的应变列阵（4）单元的结点力列阵（5）单元的等效结点荷载列阵建立结点平衡方程组，求解各结点的位移。（3）单元的应力列阵 思考题1.有限单元法求解问题的基本步骤是什么？2.试说明单元分析的主要内容。 复习1、基本物理量与基本方程的矩阵表示(2)物理方程:(1)几何方程:(3)虚功方程:3.整体分析2.对单元进行分析1.将连续体变换为离散化结构2.FEM分析的主要步骤：位移模式应变列阵结点力列阵等效结点荷载列阵应力列阵 应用插值公式,可由求出位移。首先,必须解决由单元的结点位移来求出单元的位移函数FEM是取结点位移为基本未知数的。问题是如何求应变、应力。该插值公式表示了单元中位移的分布形式,因此称为位移模式。§6-3单元的位移模式与解答的收敛性位移模式插值公式(a)在结点应等于结点位移值。由此可求出在结点三角形单元中,可以假定位移分量只是坐标的线性函数,也就是假定：三角形单元其中包含 将式(a)按未知数归纳为:三角形单元或用矩阵表示为:N称为形函数矩阵,其非零元素为其中，A为△ijm的面积(图示坐标系中,i,j,m按逆时针编号),有： 三结点三角形单元的位移模式，略去了2次以上的项，因而其误差量级是且其中只包含了x,y的1次项，所以在单元中Ni的分布如图(a)所示,u,v的分布如图(b)、(c)所示。三角形单元所以当单元趋于很小时，即时，为了使FEM之解逼近于真解。则为了保证FEM收敛性,位移模式应满足下列条件：FEM中以后的一系列工作，都是以位移模式为基础的。 收敛性条件所以当单元趋于很小时，即时，为了使FEM之解逼近于真解。则为了保证FEM收敛性,位移模式应满足下列条件：因为当单元尺寸趋于0时，单元中的位移和应变都趋近于基本量－－刚体位移和常量位移。(1)位移模式必须能反映单元的刚体位移。(2)位移模式必须能反映单元的常量应变。可见刚体位移项在式(a)中均已反映。而刚体位移形式(P17(2-9)式)为，将式(a)写成对式(a)求应变,得：可见常量应变也已反映。 (3)位移模式应尽可能反映位移的连续性。收敛性条件即应尽可能反映原连续体的位移连续性。在三角形单元内部，位移为连续；在两单元边界ij上，之间均为线性变化，也为连续。收敛性条件所以当单元趋于很小时，即时，为了使FEM之解逼近于真解。则为了保证FEM收敛性,位移模式应满足下列条件：(1)位移模式必须能反映单元的刚体位移。(2)位移模式必须能反映单元的常量应变。(1)和(2)是必要条件，而加上(3)就为充分条件。为了保证FEM的收敛性： 思考题1.应用泰勒级数公式来选取位移模式，为什么必须从低次项开始选取？2.试考虑：将结构力学解法引入到求解连续体的问题时，位移模式的建立是一个关键性工作，它使得单元(连续体)内部的分析工作都有可能进行了。 §6-4单元的应变列阵和应力列阵应用几何方程，求出单元的应变列阵：位移函数其中，单元中的位移函数用位移模式表示为 应变,应力应用几何方程，求出单元的应变列阵：其中,B称为应变矩阵，用分块矩阵表示，再应用物理方程，求出单元的应力列阵： 应变,应力其中,S称为应力转换矩阵，写成分块形式为对于线性位移模式，求导后得到的应变和应力，均成为常量，因此，称为常应变（应力）单元。应变和应力的误差量级是,其精度比位移低一阶，且相邻单元的应力是跳跃式的。再应用物理方程，求出单元的应力列阵： 思考题如果在位移模式中取到泰勒级数中的二次幂项，略去高阶小量，试考虑位移、应变和应力的误差量级。 §6-5单元的结点力列阵与劲度矩阵现在来考虑其中一个单元：模型,结点力在FEM中，首先将连续体变换为离散化结构的模型。(2)单元与周围的单元在边界上已没有联系,只在结点i,j,m互相联系。(1)将作用于单元上的各种外荷载,按静力等效原则移置到结点上去,化为等效结点荷载。故单元内已没有外荷载。假想将单元与结点i切开，则：其数值与相同，而方向相反。以沿正坐标向为正。对单元而言,这是作用在其上的“外力”。(1)结点作用于单元上的力，称为结点力，(2)单元作用于结点的力，为： 而其内部有应力作用，考察已与结点切开后的单元i,j,m，则此单元上作用有外力,即结点力,应用虚功方程，求单元的结点力：假设发生一组结点虚位移　　则单元内任一点(x,y)的虚位移为单元内任一点(x,y)的虚应变为代入虚功方程：在单元中，外力(结点力)在虚位移(结点虚位移)上的虚功，等于应力在虚应变上的虚功，即：虚功方程代入其中与x,y无关，故式(a)成为因为是独立的任意的虚位移，虚功方程对任意的均应满足，故式(b)是由应力求结点力的一般公式。 式(c)是由结点位移求结点力的一般公式，k称为单元的劲度矩阵.其中,再将应力公式代入上式，得单元劲度矩阵式(b)是由应力求结点力的一般公式。对于三角形单元，B矩阵内均为常数，有代入B，D，得出k如书中(6-37)及(6-38)所示。 对于三角形单元，B矩阵内均为常数，有代入B，D，即得平面应力问题中三结点三角形单元的刚(劲)度矩阵，可写成如下分块矩阵的形式：其中， (1)k是6×6的方阵,k中元素表示仅在单元结点s沿n方向产生单位位移时引起结点r沿l方向的结点力。(2)由反力互等定理，所以k是对称矩阵，以对角线为对称轴。单元劲度矩阵k的性质：(3)当单元作刚体平移时，如三角形内不产生应力和应变，结点力也为0。(4)由(3)可导出行列式(即k为奇异矩阵)。(5)k的元素与　　单元的形状和方位等有关，但与单元的大小和刚体的平动以及作度转动无关。即,k中每一行（或列）元素之和为0（其中第1、3、5元素之和(对应x向)或2、4、6元素之和(对应y向)也为0）。 例题某等腰直角三角形单元ijm如图所示,已知在所选取的坐标系中,单元结点坐标分别为:应用可得应用公式可得该单元的应力转换矩阵为 可得该单元的应力转换矩阵为应用教材式(6-37)及式(6-38)可得该单元的单元刚度矩阵为 现考察结点力与单元中的应力之间的关系。为了简单起见，假定只有结点i发生位移ui，如右图(a)所示。由上面的单元刚度矩阵得相应的结点力为：其中，。相应的结点位移及结点力如图所示另一方面，由于发生了位移ui,则根据上面得到的应力转换矩阵，可得应力分量为如上图(b)中单元的两直角面所示。根据单元的平衡条件,还可得出斜面上的应力,如图所示。若将这三个面上的应力分别按静力等效原则积铢累寸到结点上去，可以得到图(a)中相同的结点力。■ 思考题试求出书中例题(P117)的位移模式。 §6-6荷载向结点移置,单元的结点荷载列阵在FEM中,须将作用于单元上的外荷载向结点移置，化为等效结点荷载，(2)变形体静力等效原则:即在任意的虚位移上，使原荷载与移置荷载的虚功相等。1、等效原则刚体静力等效原则只从运动效应来考虑,得出移置荷载不是唯一的解;变形体的静力等效原则考虑了变形效应,在一定的位移模式下,其结果是唯一的,且满足了前者条件。所以在FEM中，采用变形体的静力等效原则。(1)刚体静力等效原则:使原荷载与移置荷载的主矢量以及对同一点的主矩也相同。移置原则 假设发生一组结点虚位移,则点的虚位移为使移置荷载的虚功等于原荷载的虚功：原荷载作用于单元中任一点(x,y),为单位厚度上的作用力;移置荷载作用于结点ijm。集中力,面力,体力2、集中力的移置公式对于任意的虚位移,虚功方程都必须满足,得：3、单元边界上面力的移置公式应用式(a),将代之为并在边界上积分,得:应用式(a)，将代之为并对单元域A积分,得4、单元内体力f的移置公式说明：当位移模式为线性函数时，由虚功方程得出的移置荷载，与按刚体静力等效原则得出的结点荷载相同。 思考题1.试导出书中例题(P119)的荷载移置公式。 在单元分析中，从单元的结点位移→求位移分布→求应变→求应力→求结点力，为单元的内力分析；外荷载移置到结点荷载，为单元的外力分析。§6-7结构的整体分析结点平衡方程组假设将结点i与周围的单元切开，则围绕i结点的每个单元对i结点有结点力()的作用,也有外荷载移置的结点荷载()的作用。下面考虑整体分析。对某一个单元ijm，其中是对围绕i结点的单元求和。结点i的平衡条件为结点平衡条件 其中,ijm是单元结点的局部编号;i=1,2,…,n是其整体编号。代入式(a)，可表示为将式(b)按整体结点编号排列,得整个结构的平衡方程组。对某一个单元ijm，其中是对围绕i结点的单元求和。结点i的平衡条件为其中，分别为整体结点位移列阵，整体结点荷载列阵和整体劲度矩阵。考虑结构的约束条件后,从式(c)求出,就可以求出各单元的位移和应力。结点平衡方程组 例2例1列出图示结构i结点的平衡条件。（见书中P.121）■ 1、有限单元法的具体计算步骤§6-8解题的具体步骤单元的划分1、划分单元网格，对单元和结点编号。2、选定直角坐标系，按程序要求填写和输入有关信息。单元内的ijm的局部编号应按书中规定的右手规则编号。否则会使三角形的面积出现负号等问题。3、使用已编好的程序进行上机计算。事先须将有限单元法的公式，计算方法和步骤都编入程序。4、对成果进行整理、分析。对第1步和第4步的工作，也尽可能由计算机完成，以减少人工的工作量。如自动划分网格，整理成果等。 2、单元划分注意事项（8）结构具有凹槽或孔洞等应力集中处等。（1）单元大小问题；（2）单元在不同部位的合理布置问题；（3）三角形三个内角最好较接近；（4）利用对称性和反对称性；（5）厚度突变之处和材料不同之处；（6）载荷作用（集中力或突变分布载荷）处；（7）水利闸坝工程问题； 在FEM中，位移的精度较高，其误差量级是　，即与单元尺度的二次幂成正比。应力的误差量级是　　　，即与单元的大小成正比。§6-9计算成果的整理三结点三角形单元的应力的成果，不但应力的精度较低，而且还产生了所谓应力的波动性。对于结点位移的成果，不需整理就可以直接采用。应力的波动性在三结点三角形单元中较为显著。这是由于计算出的应力的精度较低。假设Ⅰ单元的应力成果为　　，其中为真解，为误差。则由于在结点都列出了平衡方程并令其满足，从而使相邻的Ⅱ单元的应力趋近于。这就产生了应力的波动性。为提高应力精度，解决其波动性问题，可采取以下应力成果整理方法：1)两相邻单元平均法;2)绕结点平均法。一般地讲，两相邻单元平均法的精度较好，因为它涉及的区域范围较小。 在面力边界线附近，求得的应力误差较大。可采用向外插值的方法（例抛物线插值）来解决。为了提高应力精度，可采用两种方法：一是加密网格，减少单元的尺寸，以提高应力的精度。二是可以采用较多结点的单元，并使位移模式中包含一些高幂次的项，从而提高位移和应力的精度。应力的波动性在三结点三角形单元中较为显著。这是由于计算出的应力的精度较低。假设Ⅰ单元的应力成果为　　，其中为真解，为误差。则由于在结点都列出了平衡方程并令其满足，从而使相邻的Ⅱ单元的应力趋近于。这就产生了应力的波动性。为提高应力精度，解决其波动性问题，可采取以下应力成果整理方法：1)两相邻单元平均法;2)绕结点平均法。一般地讲，两相邻单元平均法的精度较好，因为它涉及的区域范围较小。 书中应用三结点三角形单元，计算了下列例题：§6-10计算实例1.楔形体受自重及齐顶水压力。2.简支梁受均布荷载。3.圆孔附近的应力集中。在整理应力成果时,读者应注意,应用三角形单元时，(1)采用两单元平均法和绕结点平均法的应力成果比较接近，但前者的精度略好于后者。(2)边界面的应力,宜采用向外插值的方法求出。 在FEM中，将连续体变换为离散化结构之后，有两种导出FEM公式的主要方法，即静力法与变分原理法。§6-11应用变分原理导出有限单元法基本方程(2)建立单元位移模式,求出单元中的位移分布，1.按静力方法导出FEM公式(1)取结点位移　为基本未知数；(3)由几何方程求出单元的应变，(4)由物理方程求出单元的应力，(5)由虚功方程求出单元的结点力，(6)由虚功方程求出单元的结点荷载，(7)建立结点平衡方程组，按结构力学方法导出FEM公式■ （1）变分原理中的极小势能原理是2.按变分方法导出FEM公式保留上述（1）-（4）步骤，然后应用极小势能原理导出FEM基本方程。按变分法导出FEM公式对于平面问题， 对于连续体,变分的宗量是位移函数变分方程可表示为总势能对的导数等于0，即 变分宗量由变换成（2）将经典变分原理应用到离散化结构，则总势能、形变势能和外力势能，可以用单元的势能之和来表示 其中为三角形单元的面积。应用前面记号,内力势能为 其中为三角形单元的受面力边界。引用前面记号外力势能为总势能为 故总势能极小值条件变换为（3）对于离散化结构，泛函数的宗量变换为则式(n)成为引用矩阵运算公式， 其中 代入式(o)，得出与结构力学方法导出的相同方程，从物理意义上讲，将连续体的经典变分原理(g)或(i)应用到离散化结构，成为式(p)。 比较物理意义：凡是与微分方程对应的变分原理存在的任何问题，均可应用变分法导出FEM。式(p)表示总势能在所有结点处的极值条件。式(g)表示总势能的整体极值条件; 作业(06)P141习题6-2,6-4,6-6 第四章例题本章结束