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1、JIUJIANGUNIVERSITY毕业论文（设计）题目幂等矩阵的性质及应用英文题目PropertiesandApplicationofIdempotentMatrix院系理学院专业数学与应用数学姓名邱望华年级A0411指导教师王侃民二零零八年五月摘要幂等矩阵在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛，因此对幂等矩阵进行探讨具有很重要的意义。本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广。首先对幂等矩阵简单性质进行了归纳总结，接着谈到了实幂等矩阵的等价条件并推广到复矩阵以及高次幂等矩阵，然后研究了幂等变换、幂等矩阵线性组合的幂等性、幂等矩阵线性组合的可逆性、
2、幂等矩阵秩有关的性质。[关键词]幂等矩阵，性质，幂等性，线性组合AbstractTheidempotentmatrixiswidelyappliedinmathematicsaswellasothermanyplaces,sothereisveryvitalsignificancetocarryonthediscussiontotheidempotentmatrix.Thispapermainlycarriesontheinductionsummarysomesimplenatureandtheimportantconclusionofidempotentmatrixandca
3、rriesonthepromotiontotherelatednature.Firstly,thisarticlehascarriedontheinductionsummarytoitssimplenature,thentalkesabouttheequivalenceconditionofthesolididempotentmatrixandextendstotheequivalenceconditionofthepluralidempotentmatrixandthehighermodeidempotentmatrix.Thenthearticlestudiestheide
4、mpotenttransformation、theidempotencyoflinearcombinationsoftwoidempotentmatrices、theinvertibilityoflinearcombinationsoftwoidempotentmatrices.[KeyWords]theidempotent,thenature,theidempotence,linearcombination符号表实数域实数域n维列向量空间实数域上的n×n阶矩阵复数域复数域n维列向量空间复数域上的n×n阶矩阵矩阵A的转置矩阵A的伴随矩阵A的逆矩阵A的行列式矩阵A的秩矩阵A的核空
5、间，即矩阵A的值域，即线性空间V的维数线性变换的逆变换的值域,即=的核,即目录第一章预备知识11.1幂等矩阵的概念及刻划11.2幂等矩阵的一些简单性质3第二章相关的重要结论72.1幂等矩阵的等价条件72.2幂等变换142.3幂等矩阵线性组合的幂等性172.4幂等矩阵线性组合的可逆性232.5幂等矩阵的秩方面的有关性质26结束语29参考文献30第一章预备知识1.1幂等矩阵的概念及刻划定义1.对n阶方阵,若,则称为幂等矩阵.为了对一般幂等矩阵作出刻划,下面先对二阶幂等矩阵讨论,再推广到一般幂等矩阵.命题1.若是幂等矩阵,则与相似的任意矩阵是幂等矩阵.证明：若相似于(记作),则有同阶
6、可逆矩阵,使=,从而=·===.▌命题2.若是对角分块矩阵，设=，则是幂等矩阵均是幂等矩阵.由于每个n级复数域矩阵都与一个若尔当矩阵相似，据命题1和命题2知，我们只需要讨论若尔当块的幂等性.若是一个2阶复数域矩阵,则的若尔当标准型有两种可能的形式:第一种:,但它不是幂等矩阵.否则有=,有.矛盾.第二种:,由,有,从而有或1,或1.于是该情况有四种可能的形式:,,,据命题1,于是得到:定理1.是二阶幂等矩阵,则是零矩阵或单位矩阵或形如.证明:由以上讨论知相似于(1)式中的四个矩阵之一若～,显然有=若～,显然有=若～,则有可逆矩阵=，使=则有.即.对剩余的一种与此有同样的结果.▌设
7、，由，有这是不可能的.于是有:命题3.当时,阶若尔当块不具有幂等性.即.因此,若是幂等矩阵，则的若尔当标准型如下：据命题1即有.于是或1.于是我们得到如下定理:定理2.是阶幂等矩阵，当且仅当存在阶可逆矩阵，使得.其中是主对角线上元素为0或1的对角矩阵.▌1.2幂等矩阵的一些简单性质性质1.方阵零矩阵和单位矩阵是幂等矩阵.性质2.方阵是幂等矩阵，且可逆，则.因为,则.▌据此易知:可逆幂等矩阵的逆矩阵是幂等矩阵.即(如果存在的话)是幂等矩阵.因为.性质3.若是实幂等矩阵，则都是幂等矩阵.证明:对
