知识要点-对数及对数函数

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1、第2讲对数及对数函数★知识梳理对数的概念如果ab=N（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=bab=NlogaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.二、对数的运算性质loga（MN）=logaM+logaN.loga=logaM－logaN.logaMn=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）三、对数换底公式：logbN=（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）.四、对数函数的图像及性质①函数y=logax（a＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，图像如下②对数函数的性质

2、：定义域：（0，+∞）；值域：R；过点（1，0），即当x=1时，y=0.当a＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a＜1时，在（0，+∞）上是减函数。五、对数函数与指数函数的关系对数函数与指数函数互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称.。★重、难点突破重点：掌握对数的运算性质及对数函数的图像与性质。难点：综合运用对数函数的图像与性质解决问题。重难点：1．对数函数性质的拓展（Ⅰ）同底数的两个对数值与的大小比较若，则若，则（Ⅱ）同真数的对数值大小关系如图对应关系为（1），（2），（3），（4）则作直线得即图象

3、在轴上方的部分自左向右底数逐渐增大2．常见对数方程或对数不等式的解法（1）形如转为，但要注意验根对于，则当时，得；当时，得（2）形如或的方程或不等式，一般用换元法求解。（3）形如的方程化为求解，对于的形式可以考虑利用对数函数的单调性来解决★热点考点题型探析考点1对数式的运算[例1]（湛江市09届高三统考）已知用表示[解题思路]应设法对数换底公式将换成以常用对数，并且设法将12与45转化为2、3来表示[解析][名师指引]对数式的运算一般都是运用对数的运算性质及对数换底公式，在未来的高考中，对数式的运算可能要综合

4、其他知识交汇命题[新题导练]1．（高州中学09届月考）的结果是[解析]1；2．（中山市09届月考）若，求的值．[解析]；∴　3．（广东吴川市09届月考）如果，那么的最小值是（）A．4；B．；C．9；D．18[解析]18；由得，所以，又由题知从而，，当且仅当时取“=”考点2对数函数的图像及性质题型1：由函数图象确定参数的值[例2]函数y＝log2｜ax－1｜（a≠0）的图象的对称轴方程是x＝－2，那么a等于()A.;B.－;C.2;D.－2[解题思路]由于函数图象的对称轴方程是x＝－2,所以可以利用特殊值法求解

5、[解析]如利用f（0）=f（－4），可得0=log2

6、－4a－1

7、.∴

8、4a+1

9、=1.∴4a+1=1或4a+1=－1.∵a≠0，∴a=－.故选B[名师指引]函数图象的对称性是常考知识点，高考要求要掌握几种基本的对称。题型2：求复合函数值域及单调区间[例3]已知f（x）=log［3－(x－1)2］，求f（x）的值域及单调区间.[解题思路]通过研究函数f（x）的单调性[解析]∵真数3－(x－1)2≤3，∴log［3－(x－1)2］≥log3=－1，即f（x）的值域是［－1，+∞）.又3－(x－1)2＞0，得1－

10、＜x＜1+，∴x∈（1－，1］时，3－(x－1)2单调递增，从而f（x）单调递减；x∈［1，1+）时，3－(x－1)2单调递减，f（x）单调递增.[名师指引]对数函数与二次函数的复合函数的最值（值域）与单调性是常考知识点，解决的办法就是充分利用组成复合函数的各个基本函数的单调性以及复合函数的单调性法则。[新题导练]4．（东皖高级中学09届月考）若函数是定义域为R的增函数，则函数的图象大致是（）[解析]D；由函数是定义域为R的增函数知，所以函数在上的减函数，将的图象向左平移一个单位即得的图象，故应选D5．（09

11、年山东济宁）设，函数的图象如图2，则有A．；B．C．；D．[解析]A；由图知，，并且由图象知的图象是由的图象向下平移得到的，故考点3指数、对数函数的综合应用题型1：利用对数函数的复合函数的单调性求值域[例4]已知x满足,函数y＝的值域为,求a的值[解题思路]欲求a的值就设法寻找a的等式，但是这里没有等式，我们应该利用函数的单调性，求出其值域，依据已知条件寻求关于a的不等式组[解析]由由y＝,,①当时,为单调增函数,且,此时a的值不存在.②当时,为单调减函数,，.[名师指引]对数函数是重要的基本初等函数,高考中

12、既考查双基,又考查对蕴含其中的函数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用.因此应做到能熟练掌握它的图像与性质并能进行一定的综合运用.题型2：指数函数与对数函数的反函数关系[例5]设函数f（x）是函数g（x）=的反函数，则f（4－x2）的单调递增区间为（）A.［0，+∞）；B.（－∞，0］；C.［0，2）；D.（－2，0］[解题思路]先根据对数函数与指数函数互为反函数写出函数f（x）的表达式，