知识要点-对数及对数函数

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1、第2讲对数及对数函数★知识梳理对数的概念如果ab=N（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=bab=NlogaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.二、对数的运算性质loga（MN）=logaM+logaN.loga=logaM－logaN.logaMn=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）三、对数换底公式：logbN=（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）.四、对数函数的图像及性质①函数y=logax（a＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，图像如下②对数函数的性质：定义域：（0，+∞）；值域：R；过点（1，0），即

2、当x=1时，y=0.当a＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a＜1时，在（0，+∞）上是减函数。五、对数函数与指数函数的关系对数函数与指数函数互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称.。★重、难点突破重点：掌握对数的运算性质及对数函数的图像与性质。难点：综合运用对数函数的图像与性质解决问题。重难点：1．对数函数性质的拓展（Ⅰ）同底数的两个对数值与的大小比较若，则若，则（Ⅱ）同真数的对数值大小关系如图对应关系为（1），（2），（3），（4）则作直线得即图象在轴上方的部分自左向右底数逐渐增大2．常见对数方程或对数不等式的解法（1）形如转为，但要注意验根对于，则

3、当时，得；当时，得（2）形如或的方程或不等式，一般用换元法求解。（3）形如的方程化为求解，对于的形式可以考虑利用对数函数的单调性来解决★热点考点题型探析考点1对数式的运算[例1]（湛江市09届高三统考）已知用表示[解题思路]应设法对数换底公式将换成以常用对数，并且设法将12与45转化为2、3来表示[解析][名师指引]对数式的运算一般都是运用对数的运算性质及对数换底公式，在未来的高考中，对数式的运算可能要综合其他知识交汇命题[新题导练]1．（高州中学09届月考）的结果是[解析]1；2．（中山市09届月考）若，求的值．[解析]；∴　3．（广东吴川市09届月考）如果

4、，那么的最小值是（）A．4；B．；C．9；D．18[解析]18；由得，所以，又由题知从而，，当且仅当时取“=”考点2对数函数的图像及性质题型1：由函数图象确定参数的值[例2]函数y＝log2｜ax－1｜（a≠0）的图象的对称轴方程是x＝－2，那么a等于()A.;B.－;C.2;D.－2[解题思路]由于函数图象的对称轴方程是x＝－2,所以可以利用特殊值法求解[解析]如利用f（0）=f（－4），可得0=log2

5、－4a－1

6、.∴

7、4a+1

8、=1.∴4a+1=1或4a+1=－1.∵a≠0，∴a=－.故选B[名师指引]函数图象的对称性是常考知识点，高考要求要掌握几种基

9、本的对称。题型2：求复合函数值域及单调区间[例3]已知f（x）=log［3－(x－1)2］，求f（x）的值域及单调区间.[解题思路]通过研究函数f（x）的单调性[解析]∵真数3－(x－1)2≤3，∴log［3－(x－1)2］≥log3=－1，即f（x）的值域是［－1，+∞）.又3－(x－1)2＞0，得1－＜x＜1+，∴x∈（1－，1］时，3－(x－1)2单调递增，从而f（x）单调递减；x∈［1，1+）时，3－(x－1)2单调递减，f（x）单调递增.[名师指引]对数函数与二次函数的复合函数的最值（值域）与单调性是常考知识点，解决的办法就是充分利用组成复合函数的各

10、个基本函数的单调性以及复合函数的单调性法则。[新题导练]4．（东皖高级中学09届月考）若函数是定义域为R的增函数，则函数的图象大致是（）[解析]D；由函数是定义域为R的增函数知，所以函数在上的减函数，将的图象向左平移一个单位即得的图象，故应选D5．（09年山东济宁）设，函数的图象如图2，则有A．；B．C．；D．[解析]A；由图知，，并且由图象知的图象是由的图象向下平移得到的，故考点3指数、对数函数的综合应用题型1：利用对数函数的复合函数的单调性求值域[例4]已知x满足,函数y＝的值域为,求a的值[解题思路]欲求a的值就设法寻找a的等式，但是这里没有等式，我们应

11、该利用函数的单调性，求出其值域，依据已知条件寻求关于a的不等式组[解析]由由y＝,,①当时,为单调增函数,且,此时a的值不存在.②当时,为单调减函数,，.[名师指引]对数函数是重要的基本初等函数,高考中既考查双基,又考查对蕴含其中的函数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用.因此应做到能熟练掌握它的图像与性质并能进行一定的综合运用.题型2：指数函数与对数函数的反函数关系[例5]设函数f（x）是函数g（x）=的反函数，则f（4－x2）的单调递增区间为（）A.［0，+∞）；B.（－∞，0］；C.［0，2）；D.（－2，0］[解题思路]先根据对数函数与指数函

12、数互为反函数写出函数f（x）的表达式，