知识要点-两条直线的位置关系

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1、第2讲两条直线的位置关系★知识梳理★1.两条直线的平行与垂直关系(分斜率存在与不存在两种情况讨论)①若两条不重合的直线的斜率都不存在,则这两条直线平行;若一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,则这两条直线垂直.②已知直线,,若,与相交,则;若,则;若//,则且;若与重合,则且2.几个公式①已知两点,则②设点，直线点到直线的距离为③设直线则与间的距离3.直线系①与直线平行的直线系方程为;②与直线垂直的直线系方程为;③过两直线的交点的直线系方程为★重难点突破★重点:掌握两条直线的平行与垂直的充要条件；掌握两点之间的距离公式，点到直线的距

2、离公式，会求两条平行线之间的距离.难点:判断两条直线位置关系时的分类讨论以及综合运用平行与垂直的充要条件、距离公式解题重难点:综合运用平行与垂直的充要条件和三个距离公式,进行合理转化之后求直线方程（1）在判断两条直线的位置关系时的分类讨论,要防止因考虑不周造成的增解与漏解,关键是要树立检验的意识.①要考虑斜率存在与斜率不存在两种情形;②要考虑两条直线平行时不能重合;问题1:已知直线，，m为何值时，与平行点拨：当m=0时，当时，的斜率为，的斜率为由得或，时与重合，时（2）在分析题意,寻找解题思路时,要充分利用数形结合思想,将问题转化,化繁为

3、简,有效降低运算量.问题2:已知点P（2，1）求过P点与原点距离最大的直线的方程点拨:过P点与原点距离最大的直线为垂直于直线的直线,直线的斜率为-2,直线的方程为,即（3）在使用点到直线的距离公式和两条直线的距离公式时,应先将直线方程化为一般式,使用两条直线的距离公式,还要使两直线方程中的的系数对应相等问题2：求直线与的距离点拨：将的方程化为，则两直线的距离为(4)处理动直线过定点问题的常用的方法:①将直线方程化为点斜式②化为过两条直线的交点的直线系方程③特殊入手,先求其中两条直线的交点,再验证动直线恒过交点④从“恒成立”入手，将动直线方

4、程看作对参数恒成立。问题3:求证:直线恒过某定点，并求该定点的坐标.将直线方程化为若直线过定点，则上式对恒成立，，，该直线必过定点★热点考点题型探析★考点1:两直线的平行与垂直关系题型:判断两条直线平行与垂直[例1]已知直线：3mx+8y+3m-10=0和：x+6my-4=0问m为何值时（1）与相交（2）与平行（3）与垂直;[解析]当时；，与垂直当时由，而无解综上所述（1）时与相交（2）与平行（3）时与垂直【名师指引】判断两条直线的位置关系，一般要分类讨论，分类讨论要做到不重不漏，平时要培养分类讨论的“意识”[例2]已知△三边的方程为：，

5、，；（1）判断三角形的形状；（2）当边上的高为1时，求的值。【解题思路】（1）三边所在直线的斜率是定值,三个内角的大小是定值,可从计算斜率入手;(2)边上的高为1,即点到直线的距离为1，由此可得关于m的方程.解析：（1）直线的斜率为，直线的斜率为，所以，所以直线与互相垂直，因此△为直角三角形（2）解方程组，得，即由点到直线的距离公式得，当时，，即，解得或【名师指引】（1）一般地，若两条直线的方向（斜率、倾斜角、方向向量）确定，则两条直线的夹角确定（2）在三角形中求直线方程，经常会结合三角形的高、角平分线、中线【新题导练】1.已知直线，直线

6、，则“”是“直线”的（　　）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]B2.已知过点A(-2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为（）A．0B．-8C．2D.10[解析]设所求的直线，则那么m=-8，选B3.“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的()A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件[解析]当m=或-2时，两条直线垂直，所以m=是两条直线垂直的充分不必要条件，选B[点评

7、]还要考虑斜率不存在的情形4.(山东省枣庄市2008届高三第一次调研考试)已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点垂直，直线l2：2,4,6等于（）A．－4B．－2C．0D．2[解析]B[,又]考点2点到直线的距离题型:利用两个距离公式解决有关问题[例3]已知直线及点（1）证明直线过某定点，并求该定点的坐标（2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程【解题思路】分离参数求定点坐标;寻找到直线的距离最大时，直线满足的条件解析：（1）将直线的方程化为：，无论如何变化，该直线系都恒过直线与直线的交点，由得，直线过定点（2）当时点到直线的距离最大，此时

8、直线的斜率为-5，直线的方程为即【名师指引】（1）斜率不定的动直线，都应考虑是否过定点（2）处理解析几何的最值问题，一般方法有：函数法；几何法[例4]已知三条直线，若与的距离是（1）求a的值（