2013年高考北京卷数学(理)试卷及答案

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1、2013北京高考理科数学试题第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题.每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1.已知集合A={－1，0，1}，B={x

2、－1≤x＜1}，则A∩B=A.{0}B.{－1，0}C.{0，1}D.{－1,0,1}2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x＋φ)过坐标原点的”A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分

3、也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为开始是否输出结束A.1B.C.D.5.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与y=ex关于y轴对称，则f(x)=A.B.C.D.6.若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A.y=±2xB.y=C.D.7.直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于A.B.2C.D.8.设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0=2，求得m的取值范围是A.B.C.D.第二部分（非选择题共11

4、0分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分.9.在极坐标系中，点(2，)到直线ρsinθ=2的距离等于.10.若等比数列{an}满足a2＋a4=20，a3＋a5=40，则公比q=；前n项和Sn=.11.如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若PA=3，，则PD=；AB=.12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是.13.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa＋μb(λ，μ∈R

5、)，则=.14.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.(本小题共13分)在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A.(I)求cosA的值；(II)求c的值.16.(本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的

6、某一天到达该市，并停留2天.（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率;（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望;（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）17.(本小题共14分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A1－BC1－B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值.18.(本小题共

7、13分)设L为曲线C：在点(1，0)处的切线.(I)求L的方程；(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方.19.(本小题共14分)已知A、B、C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点.(I)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积;(II)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.20.(本小题共13分)已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项，,…的最小值记为Bn，dn=An－Bn。(I)若{an}

8、为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，)，写出d1，d2，d3，d4的值；(II)设d为非负整数，证明：dn=－d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列；(III)证明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3，…)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.参考答案一、选择题：1.B2.D3.A4.C5.D6.B7.C8.C二、填空题：9.110.2，11.；412.9613.414.三.解答题：15.解：（I）因为a=3，b=2，

9、∠B=2∠A.所以在△ABC中，由正弦定理得.所以.故.(II)由（I）知，所以.又因为∠B=2∠A,所以.所以.在△ABC中，.所以.16.解：设表示事件“此人于3月日到达该市”（=1,2，…，13）.根据题意,,且.（I）设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则,所以.(II)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)=P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)=,P(X=2)=P(A1∪A2∪A