高中数学选修2-2微积分基本定理.docx

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1、［学习目标］1.了解导数和微积分的关系.2.掌握微积分基本定理.3.会用微积分基本定理求一些函数的定积分.「知1R梳理自主学习知识点一导数与定积分的关系f(x)dx等于函数f(x)的任意一个原函数F(x)(F'(x)=f(x))在积分区间［a,b］上的改变量F(b)—皿以路程和速度之间的关系为例解释如下：如果物体运动的速度函数为v=v(t),那么在时间区间［a,b］内物体的位移s可以用定积分表示为s=v(t)dt.另一方面，如果已知该变速直线运动的路程函数为s=s(t),那么在时间区间［a,b］内物体的位移为s(b)—s(a),所以有v(t)dt=s(b)—s(a).由于s'(t)=v(t),

2、即s(t)为v(t)的原函数，这就是说，定积分v(t)dt等于被积函数v(t)的原函数s(t)在区间［a,b］上的增量s(b)—soX思考函数f(x)与其一个原函数的关系：(1)若f(x)=c(c为常数),则F(x)=cx..„1一(2)若f(x)=xn(nw—1),则F(x)=Exn1；(3)若f(x)=1,则F(x)=Inx(x>0);x(4)若f(x)=ex,则F(x)=ex;(5)若f(x)=ax,则F(x)=，aa(a>0且aw1)；(6)若f(x)=sinx,则F(x)=—cosx;(7)若f(x)=cosx,贝UF(x)=sinx.知识点二微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间

3、［a,b］上的连续函数，并且F'(x)=f(x),那么f(x)dx=F(b)—F(a).思考(1)函数f(x)的原函数F(x)是否唯一？(2)用微积分基本定理计算简单定积分的步骤是什么？答案⑴不唯一.(2)①把被积函数f(x)变为哥函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等初等函数与常数的和或差；②用求导公式找到F(x),使得F'(x)=f(x);③利用微积分基本定理求出定积分的值.广题型探究题型一求简单函数的定积分例1计算下列定积分(1)3dx;(2)(2x+3)dx;(3)(4x—x2)dx;(4)(x—1)5dx.解(1)因为(3x)'=3,所以3dx=(3x)=3X2-3X1=3.i(2)因

4、为(x2+3x)'=2x+3,2所以(2x+3)dx=(x2+3x)0=22+3X2-(02+3X0)=10.x3(3)因为2x2-z=4x-x2,333所以(4x-x2)dx=2x2—与31203.2339-13=2X32—"3-2X-12——3—1(4)因为1x—16'=(x—1)5,所以(x—1)5dx16161=6(2-1)6-6(1-1)6=6.反思与感悟(1)用微积分基本定理求定积分的步骤：①求f(x)的一个原函数F(x);②计算F(b)-F(a).(2)注意事项：①有时需先化简，再求积分；②若F(x)是f(x)的原函数，则F(x)+C(C为常数)也是f(x)的原函数.随着常数C

5、的变化，f(x)有无穷多个原函数，这是因为F'(x)=f(x),则[F(x)+C]'=F'(x)=f(x)的缘故.因为bf(x)dxa=[F(x)+C]

6、b=[F(b)+C]-[F(a)+C]=F(b)-F(a)=F(x)1b,所以利用f(x)的原函数计算定积CT.跟踪训练1求下列函数的定积分:1x十一x2dx;(2)qx(1+yx)dx.分时，一般只写一个最简单的原函数，不用再加任意常数⑴x+12dxx2x2+2+^2dx12x2dx+122dx+1212Fdxx11=3x+2x111,=-X(23—13)+2X(2—1)—2—13229=-6.(2)95(1+五)dx4=9(x+x)dx4

7、3x,x+2x2=2X9X3+1X92—2X4X2+1X423232271=-6-.题型二求分段函数的定积分x3,x€[0,1,例2求函数f(x)=x2,x€[1,2,在区间[0,3]上的定积分2x,xC[2,3]解由定积分的性质知:3f(x)dx=01f(x)dx+02f(x)dx+3f(x)dx121x3dx+2x2dx+32xdx012x41+x3234031ln2218184=—I14331n2ln2=31十上121n2..(2)分段的反思与感悟(1)分段函数在区间［a,b］上的定积分可分成几个定积分的和的形式标准是确定每一段上的函数表达式，即按照原函数分段的情况分就可以.跟踪训练2求

8、下列定积分：(1)2X2—1

9、dx;(2)2^1-sin2xdx.oo1-x2,(1).y=

10、x2—1

11、=x2_10

12、x2-1

13、dx=01(1—x2)dx+o2(x2-1)dx1x3x—3x33-x3■-23-1=2.(2)父1—sin2xdxoTT=2

14、sinx—cosx

15、dxoTT=4(cosx—sinx)dx+2(sinx—cosx)dx兀=(sinx+cosx)40