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1、欢迎阅读§1曲面的概念1.求正螺面7={ucosv,usinv,bv}的坐标曲线.解u-曲线为r={ucosv0,usinv0,bv0}={0,0,bv0}+u{cosv0,sinv0,0}，为曲线的直母线；v-曲线为^={uocosv,uosinv,bv}为圆柱螺线.2.证明双曲抛物面r={a(u+v),b(u-v),2uv}的坐标曲线就是它的直母线。证u-曲线为?={a(u+vo),b(u-vo),2uv°}={av°,bv°,0}+u{a,b,2v。}表示过点{av°,I/_.bv°,0}以{a,b,2v。}为方向向量的直线；、4■-■■.v-曲线为r={a(u°+v
2、),b(u0-v),2u0v}={au°,bu0,0}+v{a,-b,2u0}表示过点(au°,bu°,0)以{a,-b,2u°}为方向向量的直线。3.求球面r={acos「：sin「,acos「：sin-,asin「：}上任意点的切平面和法线方程。解r={-asin、：cos,—asin、：sin「，acos、：},r：={—acos、：sin,acos^cos,0}x-acos^cosey-acos^sin申任意点的切平面方程为-asin^cosd-asin^sin®—acos^sin®acos^cos®z「asin二acos、：0=0页脚内容欢迎阅读页脚内容欢迎阅读即
3、xcos:cos+ycos:sin+zsin:-a=0法线方程为x-acos^cos®y-acos^sin®z-asin9。cos^cos®cos今sin申sin91i1/224•求椭圆柱面令+占=1在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个ab切平面。22解椭圆柱面=1的参数方程为x=cos二，y=asin；：,z=t,j-{-asinbcos；：,0}abrt={0,0,1}。所以切平面方程为:x「acos、：-asin二0y-bsinz「tbcos、：0=0，即xbcos一+yasin、：—ab=0页脚内容欢迎阅读此方程与t无关，对于二的每一确定的值
4、，确定唯一一个切平面，而二的每一数值对应一条直母线,说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。35•证明曲面r={u,v,—}的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。uv证ru二{1,0,—j}uv3，rv={0,1,-旦迈}。切平面方程为:uv与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,3a2)uv于是，四面体的体积为:3V43
5、u
6、3
7、v
8、Nvr2a3是常数。§2曲面的第一基本形式1.求双曲抛物面r={a(u+v),b(u-v),2uv}的第一基本形式解r：={a,b,2v},={a,4,2u},E=行2=a2+b2+4v2,F=匚Q=
9、a2_b2+4uv,G=亡=a2+b2+4u2,•II=(a2+b2+4v2)du2十2(a2-b2+4uv)dudv+(a2+b2+4u2)dv2。2.求正螺面7={ucosv,usinv,bv}的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。解ru工{cosv,sinv,0},-usinv,ucosv,b}，E二帘=1，F二rug=0，G=g二ub，iJl^JbII■J\I.I=du2+(u2+b2)dv2，：F=0，.・.坐标曲线互相垂直。\_i'冬二二—?3.在第一基本形式为I=du2sinh2udv2的曲面上，求方程为u=v的曲线的弧长。IIII解由条件ds2二du2
10、sinh2udv2,沿曲线u=v有du=dv，将其代入ds2得ds2=du2sinh2udv2=cosh2vdv2，ds=coshvdv,在曲线u=v上，从v1至Uv2的弧长为v2
11、coshvdv
12、=
13、sinhv2「sinh比
14、。3.设曲面的第一基本形式为I=du2(u2a2)dv2，求它上面两条曲线u+v=0,u-v=0的交角。分析由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。解由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量E=1，Fv=0，G二u2，a2，曲线u+v=页脚内容页脚内容欢迎阅读0与u-v=0的交点
15、为u=0,v=0,交点处的第一类基本量为E=1,Fv=O,G=a2。曲线u+v=0的方向为du=-dv,u-v=0的方向为Su=Sv,设两曲线的夹角为，贝U有2mEdu^u+Gdv帥1-acos=2。Edu2Gdv2...Eu2G、v21a5•求曲面z=axy上坐标曲线x=x0,y=y0的交角.解曲面的向量表示为r={x,y,axy},坐标曲线x=x0的向量表示为r={x0,y,ax0y}，其y°,axy。}，其切向量rx={1,0,2rxryax0y01rx11ry1+a2x2J1+a2y切向量ry={0,1,a
