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《微分几何第四版习题答案梅向明.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、.....................§1曲面的概念r={ucosv,usinv,bv}的坐标曲线.1.求正螺面rr000}=｛0,0，bv0｝＋u{00，解u-曲线为r={ucosv,u,bv,0}sinvcosv,sinvr={u0cosv,u0sinv,bv}为圆柱螺线．为曲线的直母线；v-曲线为rr２．证明双曲抛物面r＝｛a（u+v）,b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。ra（u+v0）,b（u-v0）,2uv0}={av0,bv0,0}+u{a,b,2v0}证u-曲线为r={表示
2、过点{av0,bv0,0}以{a,b,2v0}为方向向量的直线;r）（u0）u0u0｝u0v-曲线为r=｛a（uv｝=｛au0,b,0}0+v,b-v,2+v{a,-b,2表示过点(au0,bu0,0)以{a,-b,2u0}为方向向量的直线。rsin,acossin,asin}上任意点的切平面和法线方程。3．求球面r={acos解r=,asinsin,acos}，r={acossin,acoscos,0}{asincosxacoscosyacossinzasin任意点的切平面方程为asincosasins
3、inacos0acossinacoscos0即xcoscos+ycossin+zsin-a=0；..法线方程为xacoscosyacossinzasin。coscoscossinsin4．求椭圆柱面x2y21在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此a2b2曲面只有一个切平面。解椭圆柱面x2y21的参数方程为x=cos,y=asin,z=t,a2b2r{asin,bcos,0},rt{0,0,1}。所以切平面方程为：xacosybsinztasinbcos00，即xbcos+yasin－ab=0001
4、此方程与t无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。5．证明曲面r{u,v,a3}的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常uv数。ru{1,0,a3}，rv{0,1,a3}xyuv3证u2vuv2。切平面方程为：uva3z。与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,3a2)。于是，四面体的体积为：uvV13
5、u
6、3
7、v
8、3a39a3是常数。6
9、uv
10、2§２曲面的第一基本形式1.r＝｛a（u+v）,b（
11、u-v）,2uv｝的第一基本形式.求双曲抛物面r解ru{,,2},{a,,2},2a2b24v2,abvrvbuEru..Frurva2b24uv,Grv2a2b24u2,∴错误!未找到引用源。=(a2b24v2)du22(a2b24uv)dudv(a2b24u2)dv2。rsinv,bv}的第一基本形式，并证明坐标曲线互２．求正螺面r={ucosv,u相垂直。解ru{cosv,sinv,0},rv{usinv,ucosv,b}，Eru21，Frurv0，Grv2u2b2，∴错误!未找到引用源。=du2(
12、u2b2)dv2，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。３．在第一基本形式为错误!未找到引用源。=du2sinh2udv2的曲面上，求方程为u=v的曲线的弧长。解由条件ds2du2sinh2udv2,沿曲线u=v有du=dv，将其代入ds2得ds2du2sinh2udv2=cosh2vdv2，ds=coshvdv,在曲线u=v上，从v1到v2的v2coshvdv
13、
14、sinhv2sinhv1
15、。弧长为
16、v14．设曲面的第一基本形式为错误!未找到引用源。=du2(u2a2)dv2，求它上面两条曲线u+v=0,u–v=
17、0的交角。分析由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。解由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量E1，Fv0，u2a2，G曲线u+v=0与u–v=0的交点为u=0,v=0,交点处的第一类基本量为E1，Fv0，Ga2。曲线u+v=0的方向为du=-dv,u–v=0的方向为δu=δv,设两曲线的夹角为，则有cos=EduuGdvu1a2。Gv21a2Edu2Gdv2Eu25．求曲面z=axy上坐标曲线x=x0,y=y0的交角...r坐标曲
18、线x=x0的向量表示为解曲面的向量表示为r={x,y,axy},r,y,ax0y}，其切向量ry={0，1，ax0r={x,r={x0}；坐曲y=y0的向量表示ry0,axy0}，其切向量rx={1，0，ay0}，两曲x=x0与y=y0的角，有cosrxrya2x0y0=
19、rx
20、
21、ry
22、1a2x021a2y026.求u-曲和v-曲的正交的方程.解于u-曲dv=0,其正交的方向δu:δv,有Eduδu+F(duδv+dvδu)+
