经典__最值问题.doc

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1、第06单元最值问题“最大最小、最多最少、最长最短问题”,我们称之为“最值问题”.让我们翻开记忆,按照“最值问题”在课本中出现的顺序搜索一下:1、两点之间线段最短;2、垂线段最短;3、不等式的最大(小)值;4、二次整式最值;5、线段和最小差最大;6、勾股对称最短路径;7、一次函数最优方案;8、圆中最长弦是直径;9、圆的最近(远)距离;10、二次函数的最值;11、平方和最小问题.以上所列,有的是同一问题,有的具有包含关系(如“二次函数最值”包含了“二次整式最值”),有的很少出现,为了简捷实用,我进行了整理,就以下几个问题展开:一、两点之间,线段最短说明:“两点之间,线段

2、最短”应用非常广泛,它常与三角形、轴对称、图形表面展开图等相结合,题目类型很多.(一)线段和最小说明:此乃“两点之间,线段最短”与轴对称的结合题.通法:求“直线上一点到这条直线同侧两点的距离和最小”:作其中一点关于这条直线的对称点,连结这个对称点与另一点的线段与这条直线的交点即为所求,此线段长即为该最小距离.例6-1-1几何模型(1)如图6-1-1①,点A、B位于直线m异侧,在直线m上找一点P,使AP+BP的值最小.图6-1-1①图6-1-1②你作图的根据是:.(2)如图6-1-1②,点A、B位于直线m同侧,在直线m上找一点P,使AP+BP的值最小.你作图的根据是:

3、.模型应用:(3)如图6-1-1③,正方形ABCD中,AB=4,E是BC的中点,点P是对角线AC上一动点,则PE+PB的最小值为.(4)如图6-1-1④,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点E是线段CD的中点,K为线段BD上的任意一点,则CK+EK的最小值为.(5)如图6-1-1⑤,抛物线与坐标轴交于点A(-1,0)和点B(0,-5).点P在它的对称轴上,使△ABP周长最小的点P坐标为.图6-1-1③图6-1-1④图6-1-1⑤14、(2013•钦州)如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,BE=2,AE=3BE,P是AC上一动点,则PB+PE的最小值是 

4、10 .考点:轴对称-最短路线问题;正方形的性质.3718684分析:由正方形性质的得出B、D关于AC对称,根据两点之间线段最短可知,连接DE,交AC于P,连接BP,则此时PB+PE的值最小,进而利用勾股定理求出即可.解答:解:如图,连接DE,交AC于P,连接BP,则此时PB+PE的值最小.∵四边形ABCD是正方形,∴B、D关于AC对称,∴PB=PD,∴PB+PE=PD+PE=DE.∵BE=2,AE=3BE,∴AE=6,AB=8,∴DE==10,故PB+PE的最小值是10.故答案为:10.体验与感悟6-1-11、(1)如图6-1-2①,在等边△ABC中,AB=6,点

5、E是AB的中点,AD是高,在AD上找一点P,使PB+PE的最小,最小值为.(2)如图6-1-2②,圆O的半径为2,点A、B、C在圆O上,OA⊥OB,∠A=60°,P是OB上一动点,则PA+PC的最小值是.(3)如图6-1-2③,点D、E分别是△ABC的AC、AB边的中点,BC=6,BC边上的高为4,P在BC边上,则△PDE周长的最小值.图6-1-2①图6-1-2②图6-1-2③2、(1)如图6-1-3①,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为.(2)如图图6-1-3②,∠AOB=45°,P

6、是∠AOB内一点,PO=10,Q、R分别是OA、OB上的动点,则△PQR周长的最小值是.(3)如图图6-1-3③,锐角△ABC中,,∠BAC=45°,AD平分∠BAC,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是.图6-1-3①图6-1-3②图6-1-3③以下为补充习题:3、如图6-1-3④,,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上,当B在边ON上运动时,A随之在边OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,运动过程中,点D到点O的最大距离为.图6-1-3④4、如图6-1-3⑤,已知边长为a的正三角形ABC,两顶点A、B分别在平面

7、直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动,点C在第一象限,连结OC,则OC长的最大值是.图6-1-3⑤图6-1-3⑥5、如图6-1-3⑥,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=2,点A、B分别在x轴、y轴上,当点A在x轴的正半轴上运动时,点B随之在y轴上运动.在运动过程中,点C到原点O的最大距离为.6、如图6-1-3⑦,正方形ABCD的边长为2,当点A在x轴上运动时,点D随之在y轴上运动.在运动过程中,点B到原点O的最大距离与最小距离的积为.图6-1-3⑦19、(2013年武汉)如图,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF.连接CF交BD

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