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1、第八讲多元函数微分学一、考试要求1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。2.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。4.理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。5.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。6.了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。7.了解二元函数的二阶泰勒公式(数一)。8.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了
2、解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。二、内容提要1、多元函数的概念：z=f(x,y),(x,y)D2、二元函数的极限定义、连续limf(x,y)A,limf(x,y)f(x0,y0)xx0xx0yy0yy03、偏导数的定义、高阶偏导、全微分z=f(x,y)f(x0x,y0)f(x0,y0)fx(x0,y0)=lim0x,xfy(x0,y0)=limf(x0,y0y)f(x0,y0)y0y若zf(x0x
3、,y0y)f(x0,y0)fx(x0,y0)xfy(x0,y0)y()0则dzzdxzdyxy4、偏导连续可微可导(偏导)连续极限存在5、复合函数求导法则（1）多元与一元复合：设xx(t),yy(t),zz(t)在在与t对应的点(x,y,z)(x(t),y(t),z(t))可微，则u可微，且t可微，uf(x,y,z)f(x(t),y(t),z(t))在t处dufdxfdyfdzdtxdtydtzdt1（2）多元与多元复合：设u(x,y),v(x,y)在点(x,y)存在偏导数，wf(u,v)在与(x,y)
4、对应的点(u,v)可微，则wf((x,y),(x,y))在点(x,y)存在偏导数，且wfufv，wfufvxuxvxyuyvy6、隐函数求导法则要求掌握三种情形：1）F(x,y,z)=0,F(x,y,z)0,z(x),yy(x)2）zG(x,y,z)0,F(x,y,u,v)0,uu(x,y)3）0,vv(x,y)G(x,y,u,v)7、二元函数的二阶泰勒公式设z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内具有二阶连续偏导数，(x0h,y0k)为此邻域内一点，则有f(x0h,y0k)f(x0,y0)(hxk
5、))f(x0,y0)y+1(hk)2f(x0,y0).2!xy1(hk)3f(x0h,y0k),01.3!xy8、多元函数的极值1)定义2)可能极值点3)取极值的必要条件4)取极值的充分条件设fx(x0,y0)0,fy(x0,y0)0,Afxx(x0,y0),Bfxy(x0,y0),Cfyy(x0,y0)B2AC若0,则(x0,y0)为z=f(x,y)的一个极值点A0,极大值A0,极小值9、条件极值zf(x,y),s.t.(x,y)0构造拉格朗日函数：F(x,y,)f(x,y)(x,y)2Fx0由Fy0解
6、得可能极值点，再由实际问题判断极值。F010、最值：区域内部或边界上达到三、典型题型与例题题型一、基本概念题（讨论偏导、连续、可微之间的关系）y22yz例1、设z(y3x2)(xy4)xex，求x(1,0)例2考虑二元函数f(x,y)的下面4条性质：①f(x,y)在点(x0,y0)处连续，②f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数连续，③f(x,y)在点(x0,y0)处可微，④f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在.若用“PQ”表示可由性质P推出性质Q,则有（A）②③①.（B）③②①.（C）
7、③④①.（D）③①④.x2y23,x2y20例3、设z(x2y2)20,x2y201）在（0，0）点，函数是否连续？是否偏导数存在？是否可微？一阶偏导数是否连续？2）求dz3题型二、求多元函数的偏导数和全微分本题型包括如下几个方面的问题1、初等函数的偏导数和全微分2、求抽象函数的复合函数的偏导数3、由方程所确定的隐函数的偏导数和全微分4、含抽象函数的方程所确定的隐函数的偏导数和全微分5、由方程组所确定的隐函数的偏导数方法：直接求导法；公式法；微分形式不变性。例4、设f(x,y)x2arctanyy2arc
8、tanx，求f,2fxyxxy例5、设uf(x,y)，求du,2uyzyz4*例6、已知函数z=z(x,y)满足x2zy2zz2xyux,11设11,对函数(u,v),求证0.vzxuyx例7、设zf(u,x,y),uxey，有二阶连续偏导数，求2zxy例8、设uf(x,y,z)有连续偏导数，yy(x)和zz(x)分别由方程xexyy0和ezxz0确定，试求dudx5例9设函数z=z(x,y)由方程F(y,z)0确定,其中F为
