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1、。一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和例1（07高考山东文18）设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S37，且a13，3a2，a34构成等差数列．（1）求数列{an}的等差数列．（2）令blna，n1，2，，求数列{b}的前n项和T．n3n1n*Sn的最大值.练习：设S＝1+2+3+⋯+n，n∈N,求f(n)n(n32)Sn1二、错位相减法例2（07高考天津理21）在数列an中，a12，an1ann1(2)2n(nN)，其中0．（Ⅰ）求数列an的通项公式；（Ⅱ）求数列an的前n项和Sn；．例3（07高考全
2、国Ⅱ文21）设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1b11，a3b521，a5b313（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；an的前n项和Sn．（Ⅱ）求数列bn。1。三、逆序相加法例4（07豫南五市二联理22.）设函数f(x)2xP1(x1,y1)、P2(x2,的图象上有两点2x2y2)，若OP1(OP1OP2),且点P的横坐标为1.22（I）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（II）若Snf(1)f(2)f(3)f(n),nN*,求Sn;nnnn四、裂项求和法例5求数列111的前n项和.,,,,1223nn1例6（0
3、6高考湖北卷理17）已知二次函数Snyf(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f(x)6x2，数列{an}的前n项和为，点(n,S)(nN)均在函数yf(x)的图'n像上。（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn1TnmN都成，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得对所有nanan120立的最小正整数m；五、分组求和法例7数列{an}的前n项和n2an1，数列{bn}满b13,bn1anbn(nN).S（Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Tn。例8求S12223242(1)n1n2（nN）六、利用数列的通项求和。2。先根
4、据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.例9求1111111111之和.n个1解：由于1111199991(10k1)（找k个19k个19通项及特征）∴1111111111n个1＝1(1011)1(1021)1(1031)1(10n1)9999（分组求和）＝1(10110210310n)1(1111)99n个1＝110(10n1)n91019＝1(10n1109n)81例10已知数列{a}：an8,求(n1)(anan1)的值.n(n1)(n3)n1解：∵(n1)(an
5、an1)8(n1)[11]（找1)(n3)(n2)(n4)(n通项及特征）＝8[11]（设制分组）2)(n4)(n3)(n(n4)＝4(11)8(11（裂项）2nn3n)n44∴(n1)(anan1)4(11)8(11)（分组、裂项求n1n1n2n4n1n3n4和）＝4(11)81344＝133f(n)类型1an1an解法：把原递推公式转化为an1anf(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。例:已知数列an1an1，求an。满足a1，an12n2n。3。解：由条件知：an1an11112nn(n1)nn1n分别令n1,2,3,,(n1)，代入上式得
6、(n1)个等式累加之，即(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)(11)(11)(11)(111)22334nn所以ana111na11，an1113122n2n类型2an1f(n)an解法：把原递推公式转化为an1f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。an例:已知数列an满足a12nan，求an。，an13n1解：由条件知an1n，分别令n1,2,3,,(n1)，代入上式得(n1)个等ann1式累乘之，即a2a3a4an123n1an1a12a1a2a3an1234na1又，n3an23n3n1an(n例:已知a13，an11)，求a
7、n。3n2an3(n1)13(n2)1321313(n1)23(n2)2a1322323n43n752361。3n13n4853n类型3an1panq（其中p，q均为常数，(pq(p1)0)）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：an1tp(ant)，其中tq，再1p利用换元法转化为等比数列求解。例:已知数列an中，a11，an12an3，求an.解：设递推公式an12an3可以转化为an1t2(ant)即an12antt3.故递推公式为an132(an3),令bnan3，则b1a134,且bn1an13.所以bn是以b14为首项，2为公比的等
8、比数列，则bnan23bn42n12n1,所以an2n13.。4。变式:递推式：an1panfn。解法：只需构造数列bn，
