函数解析式的七种求法.docx

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1、函数解析式的七种求法一、待定系数法：在已知函数解读式的构造时，可用待定系数法。例设f(x)是一次函数，且f[f(x)]4x3，求f(x)解：设f(x)axb(a0)，则f[f(x)]af(x)ba(axb)ba2xabba24a2或a2abb3b1b3f(x)2x1或f(x)2x3二、换元法：已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可以用换元法求f(x)的解读式，但要注意所换元的定义域的变化。例已知f(x1)x2x，求f(x)解：令tx1，则t1，x(t1)2f(x1)x2xf(t)(t1)22(t1)t21,f(x)x21(x1

2、)三、配凑法：已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f(x)的解读式，若f[g(x)]的表达式容易配成g(x)的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。例已知f(x1)x21(x0)，求f(x)的解读式xx2解：f(x1)(x1)22，x12xxxf(x)x22(x2)四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例已知：函数yx2x与yg(x)的图象关于点(2,3)对称，求g(x)的解读式解：设M(x,y)为yg(x)上任一点，且M(x,y)为

3、M(x,y)关于点(2,3)的对称点1/3xx22xx4则，解得：6，yyyy23点M(x,y)在yg(x)上yx2xxx4把代入得：y6y6y(x4)2(x4)整理得yx27x6g(x)x27x6五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解读式。例设f(x)满足f(x)2f(1)x,求f(x)x解f(x)2f(1)x①x1显然x0,将x换成，得：11f()2f(x)②xx解①②联立的方程组，得：x2f(x)3x3例设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f(x)g

4、(x)1,试求f(x)和g(x)的解读式x1解f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，f(x)f(x),g(x)g(x)又f(x)1①，g(x)x12/3用x替换x得：f(x)g(x)1x1即f(x)g(x)1②x1解①②联立的方程组，得f(x)1g(x)1，xx21x2六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解读式。例已知：f(0)1，对于任意实数、，等式f(xy)f(x)y(2xy1)恒成立，求f(x)解对于任意实数、，等式f(xy)f(x)y

5、(2xy1)恒成立，不妨令x0，则有f(y)f(0)y(y1)1y(y1)y2y1再令yx得函数解读式为：f(x)x2x1七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解读式。例设f(x)是定义在N上的函数，满足f(1)1，对任意的自然数a,b都有f(a)f(b)f(ab)ab，求f(x)解f(a)f(b)f(ab)ab，a,bN，不妨令ax,b1，得：f(x)f(1)f(x1)x，又f(1)1,故f(x1)f(x)x1①分别令①式中的x1,2n1得：f(2)f(1

6、)2,f(3)f(2)3,f(n)f(n1)n,将上述各式相加得：f(n)f(1)23n，f(n)123nn(n1)2f(x)1x21x,xN223/3