最新算法12--最短路径--弗洛伊德(Floyd)算法PPT课件.ppt

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1、算法12--最短路径--弗洛伊德(Floyd)算法2求最短路径步骤初始时设置一个n阶方阵，令其对角线元素为0，若存在弧，则对应元素为权值；否则为逐步试着在原直接路径中增加中间顶点，若加入中间点后路径变短，则修改之；否则，维持原值所有顶点试探完毕，算法结束3.Floyd算法思想：逐个顶点试探法从图的带权邻接矩阵G.arcs出发，假设求顶点Vi到Vj的最短路径。如果从Vi到Vj有弧，则从Vi到Vj存在一条长度为G.arcs[i][j]的路径，但该路径是否一定是最短路径，还需要进行n次试探。1.第一次，判别（Vi,V0）和（V0，Vj），即判别(Vi,V0,Vj）是

2、否存在，若存在，则比较（Vi,Vj）和(Vi,V0,Vj）的长度，取长度较短的为从Vi到Vj的中间顶点序号不大于0的最短路径。V2V3V0V112345689以D(1)为基础，以V2为中间顶点，求从Vi,到Vj的最短路径。或者为从Vi到Vj的边,或者为从Vi开始通过V0,V1,V2到达Vj的最短路径。D(2)[i][j]=min{D(1)[i][j],D(1)[i][2]+D(1)[2][j]}0123012301240092350801608888A(-1)=47A(0)=1036D(1)=D(2)=12910V0V1V201230123012400923508016088

3、88A(-1)=47A(0)=1036A(1)=D(2)=12910D(3)=V2V3V0V112345689以D(2)为基础，以V3为中间顶点，求从Vi,到Vj的最短路径。或者为从Vi到Vj的边,或者为从Vi开始通过V0,V1,V2,V3到达Vj的最短路径。D(3)[i][j]=min{D(2)[i][j],D(2)[i][3]+D(2)[3][j]}9118V3V2V0V1D(3)[i][j]即为从Vi到Vj的最短路径长度.9ACB264311041160230初始：路径：ABACBABCCA046602370加入B：路径：ABABCBABCCACAB041160237

4、0加入A：路径：ABACBABCCACAB046502370加入C：路径：ABABCBCABCCACAB例题：10例ACB264311初始：041160230length=011202300path=加入A：0411602370length=011202310path=加入B：046602370length=012202310path=加入C：046502370length=012302310path=114.论点：A(-1)[i][j]是从顶点vi到vj,中间顶点是v1的最短路径的长度,A(k)[i][j]是从顶点vi到vj,中间顶点的序号不大于k的最短路径的长度,A(n

5、-1)[i][j]是从顶点vi到vj的最短路径长度。证明：归纳证明，始归纳于s(上角标);(1)归纳基础：当s=-1时，A(-1)[i][j]=Edge[i][j],vi到vj,不经过任何顶点的边，是最短路径。(2)归纳假设：当s

6、最短路径(标号不高于k-1)；A(k-1)[i][k]:是i到k的最短路径(标号不高于k-1)；A(k-1)[k][j]:是k到j的最短路径(标号不高于k-1)；所以：A(k)[i][j]是i到j的最短路径(标号不高于k)。13图用邻接矩阵存储edge[][]存放最短路径长度path[i][j]是从Vi到Vj的最短路径上Vj前一顶点序号5.算法实现voidfloyd(){for(inti=0;i

7、不经过任何顶点for(intk=0;k