2021_2022学年高中数学第3章不等式3.4基本不等式：ab≤a＋b2学案含解析新人教A版必修5.doc

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1、学习3.4　基本不等式：≤学习目标核心素养1.了解基本不等式的证明过程．2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．(重点、难点)3.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题．(重点)1.通过利用基本不等式比较大小和证明不等式的学习，培养逻辑推理素养．2.借助利用基本不等式求最值和基本不等式的实际应用，培养数学建模及数学运算素养．1．重要不等式如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”).思考：如果a>0，b>0，用，分别代替不等式a2＋b2≥2ab中的a，b，可得到怎样的不等式？[提示]a＋b≥2.2．基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a，

2、b均为正实数；(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．思考：不等式a2＋b2≥2ab与≤成立的条件相同吗？如果不同各是什么？[提示]不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；≤成立的条件是a，b均为正实数．3．算术平均数与几何平均数-15-/15学习(1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为；(2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．思考：≥与≥ab是等价的吗？[提示]不等价，前者条件是a>0，b>0，后者是a，b∈R.4．用基本不等式求最值的结论(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y＝时，积xy有最大

3、值为．(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y＝时，和x＋y有最小值为2．5．基本不等式求最值的条件(1)x，y必须是正数．(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．思考：利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时，一般要确定哪个量为定值？[提示]三个条件是：一正，二定，三相等．求和的最小值，要确定积为定值；求积的最大值，要确定和为定值．1．不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为(　　)A．x≥2yB．x＞2yC．x≤2yD．x＜2y-15-/15学习B[因为不

4、等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y＞0，即x＞2y，故选B.]2．设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值为．400[因为x，y都是正数，且x＋y＝40，所以xy≤＝400，当且仅当x＝y＝20时取等号．]3．函数f(x)＝x＋(x＞0)的最小值为．2[由基本不等式可得x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立．]4．给出下列说法：①若x∈(0，π)，则sinx＋≥2；②若a，b∈(0，＋∞)，则lga＋lgb≥2；③若x∈R且x≠0，则≥4.其中正确说法的序号是．①③[①因为x∈(0，π)，所以sinx∈(0，1]，所以①成立；②只有在lga>0，

5、lgb>0，即a>1，b>1时才成立；③＝

6、x

7、＋≥2＝4成立．]利用基本不等式比较大小【例1】　已知00，b>0，所以a＋b≥2，a2＋b2≥2ab，所以四个数中最大的数应为a＋b或a2＋b2.又因为0

8、在使用基本不等式≤(a≥0，b≥0)时，要注意不等式的双向性．①从左到右：常使用基本不等式的变形公式ab≤；②从右到左：常使用a＋b≥2.(2)运用基本不等式比较大小应注意等号成立的条件．(3)特殊值法是解决不等式的一个有效方法，但要使特殊值具有一般性．-15-/15学习1．(1)已知m＝a＋(a>2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是．(2)若a>b>1，P＝，Q＝(lga＋lgb)，R＝lg，则P，Q，R的大小关系是．(1)m>n　(2)P2，所以a－2>0，又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2，所以m≥2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所

9、以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.(2)因为a>b>1，所以lga>lgb>0，所以Q＝(lga＋lgb)>＝P；Q＝(lga＋lgb)＝lg＋lg＝lg＋＋.思路探究：→→→[证明]∵a>0，b>0，c>0，∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0，∴2(a＋b＋c)≥2(＋＋)，-15-/15学习即a＋b＋c≥＋＋.由于a，