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1、第9章-差错控制编码9.1引言差错控制编码的基本方法在发送端被传输的信息序列上附加一些监督码元,这些多余码元与信息码元之间以某种确定的规则相互关联(约束),接收端按照既定的规则检验信息码元与监督码元之间的关系.2常用差错控制方法检错重发前向纠错发收检错码应答信号发收纠错码39.2纠错编码的基本原理分类按差错控制编码的功能：检错码、纠错码、纠删码。按信息码元和附加的监督码元之间的检验关系：线性码、非线性码。按信息码元和监督码元之间的约束方式：分组码、卷积码。7例：3位二进制数构成的码组表示天气全用用4种用2种全用用4种用2种000晴晴晴100雪00
2、1云101霜阴010阴110雾雨011雨云111雹雨8如不要检（纠）错，传输4种不同的信息，用两位码组就够了，这两位码代表所传信息，称为信息位，多增加的称为监督位。将信息码分组，为每组信码附加若干监督码的编码，称为分组码。在分组码中，监督码元仅监督本码组的中的信息码元。分组码用（n，k）表示，n—码组长度，k—信息位数，n–k=r监督位数。1的数目称为码组的重量，两个码组对应位上数字不同的位数称为码组距离（汉明距离）。各码组间距离的最小值为最小码距d09d0的大小直接关系着编码的检，纠错能力。为检测e个错码，要求d0≥e+1为纠正t个错码，要求d
3、0≥2t+1为纠正t个错码，同时检测e个错码，要求d0≥e+t+1Bd0BA12BA12BB345d010AB1te若随机信道中，发送“0”和发送“1”时的错误概率相等，为P，且P<<1,则码长为n的码组恰好发生r个错码的概率为:11当n=7P=10-3时P(1)≈7×10-3P(2)≈2.1×10-5P(3)≈3.5×10-8可见,采用差错控制编码,即使仅能纠正这种码组中的1~2个错误,也可以使误码率下降几个数量级.129.3常用的简单编码奇偶监督码无论信息位有多少,监督位只有一位,使码组中“1”的数目为偶(或奇)数.接收端这种码能够检测奇数个
4、错码,适用检测随机错误13二维奇偶监督码把上述奇偶监督码的若干码组排列成矩阵,每一码组写成一行,然后,再按列的方向增加第二维监督位14恒比码每个码组均含有相同数目的“1”(和“0”).由于“1”的数目与“0”的数目之比保持恒定,故得此名.正反码是一种简单的能够纠正错码的编码,监督位数目与信息位数目相同,监督位与信息位相同或相反,由信息码中的“1”的个数而定.159.4线性分组码线性分组码中信息码元和监督码元是用线性方程联系起来的.线性码建立在代数学群论基础上,线性码各许用码组的集合构成代数学中的群,因此,又称群码.主要性质任意两许用码组之和(模2
5、和)仍为一许用码组.(封闭性)码的最小距离等于非零码的最小重量16奇偶监督码是一种最简单的线性码,偶校验时S称为校正子,又称伴随式.S=0无错,S=1有错.一般,由r个监督方程式计算得r个校正子,可以用来指示2r-1种错误,对于一位误码来说,就可以指示2r-1个误码位置.对于(n,k)码,如果满足2r-1≥n则可能构造出纠正一位或一位以上错误的线性码.17设分组码(n,k)中k=4,为纠正一位错码,要求r≥3,则n=k+r=7S1S2S3错码位置S1S2S3错码位置001a0101a4010a1110a5100a2111a6011a3000无错1
6、8计算监督位判断错码位置按上述方法构造的纠正单个错误的线性分组码称为汉明码。码长n=2r–1信息位k=2r–1–r监督位r（1）（2）19编码速率=（1）改写为表示成矩阵形式=PIr20简记为或H称为监督矩阵，H确定，则编码时监督位和信息位的关系就完全确定了。P为r×k阶Ir为r×r阶单位方阵具有[PIr]形式的H矩阵称为典型阵。（2）改写为：=21或Q生成矩阵GAG22具有形式的生成矩阵称为典型生成矩阵。由典型生成矩阵得出的码组A中，信息位不变，监督位附加其后，这种码称为系统码。23发送码组A在传输过程中可能发生误码，设接收到的码组为B=[bn
7、-1bn-2…b0]则B–A=EE=[en-1en-2…e0]错误图样也可写作B=A+E24接收端计算校正子为错误图样与校正子之间有确定的关系25例设且有3 个接收码组验证3个接收码组是否发生差错？若在某码组中有错码，错码的校正子是什么？然后再指出发生错码的码字中，哪位有错？26解：1）若无错，则错误图样为0，S为0B1无错B2错B3错2）∵S2=H第1列∴E=[100000]第1位错同理S3=H第3列∴E=[001000]第3位错27线性码的重要性质封闭性任意许用两个码组之和仍为许用码组两个码组之间的距离必是另一码组的重量,故最小码距即码的
8、最小重量(除全0码外)289.5循环码 9.5.1循环码原理循环码是一种重要的线性分组码,易于实现,性能较好.循环码除具有线性码的一般性
