专题48 平面的性质与空间点、线、面的位置关系(解析版).docx

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1、优选专题48平面的性质与空间点、线、面的位置关系专题知识梳理1．平面的公理与定理(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．(5)等角定理：空间中如果两

2、个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．2．空间中两直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．12/12优选②X围：.3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．考点探究考向1　平面基本性质的应用【例】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E

3、，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．【解析】(1)连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF

4、下列命题：①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．其中正确的命题是________(填序号)．【解析】经过不共线的三点可以确定一个平面，∴①不正确；两条平行线可以确定一个平面，∴②正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，∴③正确；命题④中没有说明三个交点是否共线，∴④不正确．2.如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F，求证：E，F，G，H四点必定共线

5、．12/12优选【解析】因为AB∥CD，所以AB，CD确定一个平面β.又因为AB∩α＝E，AB⊂β，所以E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，因为若两个平面有公共点，那么它们有且只有一条通过公共点的公共直线，所以E，F，G，H四点必定共线．考向2　空间两条直线的位置关系【例】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N分别是A1B1，B1C1的中点．求证：(1)AM和共面；(2)D1B和CC1是异面直线．【解析】(1)如图，连结MN，A1C1，AC.12/1

6、2优选∵点M，N分别是A1B1，B1C1的中点，∴MN∥A1C1.∵A1A∥C1C，∴四边形A1ACC1为平行四边形，∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，∴A，M，N，C四点共面，即AM和共面．(2)∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，∴B，C，C1，D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，∴D1，B，C，C1∈α，这与B，C，C1，D1不共面矛盾．∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．题组训练1.如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直

7、线________对．【解析】如图所示，与AB异面的直线有B1C1，CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有不同的位置，且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线＝24(对)．2.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有________对．【解析】平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面直线的有3对．1

8、2/12优选3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，给出以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(填序号)．【解析】A，M，C1三点共面，且在平面AD1C1B中，但C∉平面AD1C1B，C1