最新眼内炎[最新]课件ppt.ppt

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4、射?传递性：若A≈B且B≈C，则A≈Cf:A→B,g:B→C双射⇒gof:A→C双射集合的等势例1N≈N偶，N≈N奇f:N→N偶,f(n)=2n；g:N→N奇,g(n)=2n+1例2Z≈N.f:Z→N,0,n=0f(n)=2n,n>02

5、n

6、-1,n<0例3N≈N×N.(课本中图11.1.1)f:N×N→N,f()=(i+j)(i+j+1)/2+i例4N≈Q证明:因为任何有理数都可以表示成分数，即∀m∈Z,∀n∈N-{0},m/n，从而找出全体既约分数，它们表示出了全体有理数，并编号。f:N→Q,f(n)=编号[n]

7、的既约分数.(课本中图12.2.1)集合的等势例5R≈R+.f:R→R+，f(x)=ex例6(0,1)≈Rf:(0,1)→R,∀xε(0,1)f(x)=tan(x-1/2)π例7[0,1]≈(0,1)f:[0,1]→(0,1),1/2,x=0f(x)=1/(n+2),x=1/n,n∈N-{0}x,其他注：无限集合可以和它的真子集等势，但有限集合不能结论无限集合可以和它的真子集等势，但有限集合不能N≈Z≈Q≈N×N(0,1)≈[0,1]≈RP(A)≈A2证明:令f:P(A)→A2,f(B)=χB,其中χB是B∈P(A)的特征函数

8、,χB:A→{0,1},χB(x)=1⇔x∈B.(1)f是单射,设B1,B2⊆A且B1≠B2,则f(B1)=χB1(x)≠χB2(x)=f(B2),故χB1≠χB2.(2)f是满射.任给χB:A→{0,1},令B={x

9、x∈A且χB(x)=1}⊆A,则f(B)=χB集合的等势定理12.2.3(Cantor康托尔定理)(1)¬N≈R(2)对任意的集合A,¬A≈P(A)证明:(1)(反证)假设N≈R≈[0,1],则存在f:N→[0,1]双射,对∀n∈N,令f(n)=xn+1,于是ran(f)=[0,1]={x1,x2,x3,…,x

10、n,…}将xi表示成如下小数:¬N≈Rx1=0.a11a21a31……x2=0.a12a22a32……x3=0.a13a23a33……┇xn=0.a1na2na3n……┇其中0≤aji≤9,i,j=1,2,…¬N≈R选一个[0,1]中的小数x=0.b1b2b3……使得(1)0≤bj≤9,i=1,2,…(2)bn≠ann(3)对x也注意表示的唯一性由x的构造可知,x∈[0,1],x∉{x1,x2,x3,…,xn,…}(x与xn在第n位上不同).这与[0,1]={x1,x2,x3,…,xn,…}矛盾!¬N≈R对角化方法x1=0.a

11、11a21a31……x2=0.a12a22a32……x3=0.a13a23a33……┇xn=0.a1na2na3n……ann…┇(2)对任意的集合A,¬A≈P(A)证明:(反证)假设存在双射f:A→P(A),令B={x

12、x∈A∧x∉f(x)}则B∈P(A).由f是双射,设f(