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《2014高中新课程数学(苏教版必修四)《2.4.1.1向量的数量积》.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、个人收集整理勿做商业用途1．已知
2、a
3、＝3，
4、b｜＝5，且a·b＝12，则向量a在b方向上的投影为________．解析 ｜a｜·cosθ＝＝。答案 2．平面向量a与b的夹角为60°，a＝（2，0），｜b｜＝1,则
5、a＋2b
6、＝________。解析 ∵｜a｜＝2,∴
7、a＋2b
8、2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12，∴
9、a＋2b｜＝2.答案 23．已知｜a｜＝1，｜b｜＝2,｜c｜＝4，a与c的夹角为90°，b与c的夹角为60°,则(a＋b)·c＝________。解析 （a＋b）·c＝a·c＋b·
10、c＝｜b｜｜c
11、cos60°＝2×4×＝4。答案 44．设
12、a
13、＝3,
14、b｜＝5，且a＋λb与a－λb垂直，则λ＝________。解析 （a＋λb）·(a－λb）＝a2－λ2b2＝9－25λ2＝0，∴λ＝±.答案 ±5．已知
15、a｜＝2，｜b｜＝3，若a∥b,则a·b＝________；若a⊥b，则a·b＝________.解析 当a∥b时，则a与b的夹角为0°或180°;若θ＝0°,则a·b＝｜a｜｜b
16、＝6；若θ＝180°，则a·b＝－｜a｜
17、b
18、＝－6.当a⊥b时，a·b＝0。答案 ±6 06。个人收集整理勿做商业用途如图，已知正三角形ABC的
19、边长为1，求：(1）·；（2)·;（3）·.解 (1）与的夹角为60°.∴·＝｜｜｜｜cos60°＝1×1×＝。(2）与的夹角为120°.∴·＝
20、
21、
22、
23、cos120°＝1×1×－＝－。（3）与的夹角为60°.∴·＝
24、
25、
26、｜cos60°＝1×1×＝.7．若向量
27、a
28、＝1，｜b
29、＝2，｜a－b
30、＝2，则
31、a＋b
32、＝________.解析 ∵
33、a
34、＝1，｜b
35、＝2，｜a－b｜＝2,∴a2－2a·b＋b2＝4，即｜a｜2－2a·b＋｜b
36、2＝4，得1－2a·b＋4＝4,∴2a·b＝1.于是
37、a＋b
38、＝＝＝＝.答案 8．下列等式中，其中正确的是________
39、．①｜a
40、2＝a2；②＝；③（a·b）2＝a2·b2；④（a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.解析 ①｜a
41、2＝a2是向量数量积的性质，在求模计算中常用；个人收集整理勿做商业用途②＝＝cosθ≠;③（a·b)2＝(｜a
42、｜b
43、cosθ）2＝｜a
44、2
45、b｜2cos2θ≠a2·b2；④（a＋b)2＝（a＋b)·(a＋b）＝a2＋a·b＋b·a＋b2＝a2＋2a·b＋b2.答案 ①④9．若非零向量a，b满足
46、a｜＝｜b
47、，（2a＋b）·b＝0,则a与b的夹角为________．解析 因为(2a＋b）·b＝2a·b＋b2＝0∴a·b＝－｜b｜2，设a与b的夹角
48、为θ∴cosθ＝＝＝－,∴θ＝120°.答案 120°10．若向量a与b的夹角为60°,｜b
49、＝4，(a＋2b）·（a－3b）＝－72，则向量a的模为________．解析 ∵a·b＝｜a｜·｜b
50、·cos60°＝2
51、a
52、，∴(a＋2b)·(a－3b）＝｜a
53、2－6
54、b｜2－a·b＝｜a｜2－2
55、a｜－96＝－72，∴
56、a
57、＝6，｜a｜＝－4(舍去）．答案 611．已知向量a与b的夹角θ＝120°，且
58、a
59、＝4，
60、b
61、＝2,求:（1）a·b；（2)（a－2b）·（a＋b)；(3)｜3a－4b
62、.解 （1)a·b＝
63、a｜
64、b｜cosθ＝4×2×cos1
65、20°＝8×＝－4.（2)（a－2b）·（a＋b)＝a·(a＋b）－2b·(a＋b)＝｜a
66、2＋a·b－2a·b－2
67、b｜2＝｜a
68、2－a·b－2｜b｜2＝16－（－4)－2×4＝12.（3）因为(3a－4b）2＝9｜a
69、2－24a·b＋16｜b
70、2＝9×16－24×（－4）＋16×4＝16×19，所以
71、3a－4b
72、＝＝＝4。个人收集整理勿做商业用途12．设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．解 ∵｜n｜＝｜m｜＝1且m与n夹角是60°，∴m·n＝
73、m｜
74、n｜cos60°＝1×1×＝。
75、a
76、＝｜2m＋n｜＝
77、＝＝＝，
78、b｜＝
79、2n－3m｜＝＝＝＝，a·b＝（2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2＝－6×1＋2×1＝－.设a与b的夹角为θ,则cosθ＝＝＝－.又θ∈［0，π］，∴θ＝，故a与b的夹角为。13．（创新拓展）在△ABC中，＝c，＝a，＝b，且a·b＝b·c＝c·a，判断△ABC的形状．解 在△ABC中，易知＋＋＝0，即a＋b＋c＝0，因此a＋c＝－b，a＋b＝－c,从而，两式相减可得b2＋2a·b－c2－2a·c＝c2－b2。因为a·b＝c·a＝a·c，所以2b2＝2c2,即｜b｜＝｜c
80、.同理可得｜a
81、＝
82、b｜，故｜
83、＝｜
84、＝
85、｜
86、，即△ABC是等边三角形．
