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1、个人收集整理勿做商业用途第八章空间解析几何与向量代数§8.1向量及其线性运算1。填空题（1）点关于面对称的点为（)，关于面对称的点为（），关于面对称的点为（）.(2）点关于轴对称的点为（）,关于轴对称的点为(），关于轴对称的点为（），关于坐标原点对称的点为().2。已知两点和,计算向量的模、方向余弦和方向角。解:因为,故,方向余弦为,，，方向角为,，.3。在平面上,求与、、等距离的点.解：设该点为,则，即，解得，则该点为。4.求平行于向量的单位向量的分解式。解：所求的向量有两个，一个与同向,一个与反向.因为，所以。5。设，,求向
2、量在各坐标轴上的投影及分向量。解：因为，所以在轴上的投影为，分向量为，轴上的投影为,分向量为,轴上的投影为，分向量为。6.在平面上，求与、和等距离的点.个人收集整理勿做商业用途解：设所求的点为，由可得，解之得，故所求的点为。7.已知点且向量在x轴、y轴和z轴上的投影分别为，求点的坐标。解：设点的坐标为,由题意可知，则，即点的坐标为。8.试用向量法证明：三角形各边依次以同比分之,则三个分点所成的三角形必与原三角形有相同的重心.证明：若、、是一个的三个顶点，设三角形的重心为，则设的同比之分点分别为、、，分点的坐标为则三角形的重心为.
3、所以三个分点所成的三角形必与原三角形有相同的重心。§8。2数量积向量积1。若,求的模.解：所以。2.已知，证明：.个人收集整理勿做商业用途证明：由，可得，可知,展开可得，即，故.3。已知，求.解：因为所以，.4.已知,，求与的夹角及在上的投影.解：，，.因为，所以。5。已知，，为单位向量，且满足，计算.解：因为，所以,而，所以.6.求与都垂直的单位向量.解：而，所以。7.设，试证、、三点共线。证明:只需证明.因为，所以。8。已知，，个人收集整理勿做商业用途（1）确定的值,使得与平行.（2）确定的值，使得与垂直。解：（1)要使与平
4、行,只需，因为,而,所以当时与平行。（2）要使与垂直，只需，因为，而，所以当时，与垂直。§8.3曲面及其方程1。填空题（1）将xOz坐标面上的抛物线绕轴旋转一周,所生成的旋转曲面的方程为（)，绕轴旋转一周,所生成的旋转曲面的方程为(）。(2）以点为球心,且通过坐标原点的球面方程为（）.（3）将坐标面的圆绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）。2。求与点与点之比为的动点的轨迹，并注明它是什么曲面。解：设动点为，由于，所以,解之，可得，即,所以所求的动点的轨迹为以点为心，半径为的球面。3.求与点和点等距离的动点的轨迹。解:设动点
5、为，由题意知，个人收集整理勿做商业用途整理得.4。写出下列曲面的名称，并画出相应的图形。（1）.解：该曲面为单叶双曲面.（2)。解：该曲面为双叶双曲面。（3）。解：该曲面为旋转椭球面。(4）。解：该曲面为双曲柱面。（5)。解：该曲面为椭圆抛物面.（6）.解：该曲面为椭圆锥面。§8.4空间曲线及其方程1.填空题（1)二元一次方程组在平面解析几何中表示的图形是（两相交直线的交点）；它在空间解析几何中表示的图形是(两平面的交线，平行于轴且过点)。(2）旋转抛物面在面上的投影为(），在面上的投影为（)，在面上的投影为（）。2.求球面与平
6、面的交线在面上的投影方程。解：将代入,得，因此投影方程为.3。分别求母线平行于轴、轴及轴且通过曲线的柱面方程。个人收集整理勿做商业用途解：在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程。在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程。4。将下列曲线的一般方程化为参数方程：（1）.解：将代入得，即。令，，所求的参数方程为。（2)。解：做变换,将其带入方程，即得.所以参数方程为（）.5.求螺旋线在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程。解：螺旋线在面上的投影为,直角坐标方程为.螺旋
7、线在面上的投影为个人收集整理勿做商业用途，直角坐标方程为.螺旋线在面上的投影为，直角坐标方程为。6。画出下列方程所表示的曲线：（1)。（2）.(3)。§8.5平面及其方程1。填空题(1）一平面过点且平行于向量和,平面的点法式方程为（），平面的一般方程为(),平面的截距式方程（),平面的一个单位法向量为（）.（2）设直线的方程为,当()时，直线过原点；当(）且（或有一个成立）时，直线平行于轴但不与轴相交;当（）时,直线与轴相交；当（）时，直线与轴重合。2。求过三点，和的平面方程。解：由平面的三点式方程知，所求的平面方程为个人收集整
8、理勿做商业用途=0,即。3.求过点且垂直于两平面和的平面方程。解：该平面的法向量为，平面的方程为，即.4.求点到平面的距离。解：点到平面的距离公式是,因此点到平面的距离为。5.求平面与各坐标面的夹角的余弦.解：所给平面的法向量为，设该平面与面、面和面的夹角为、和
