第四章 解非线性方程的迭代法.ppt

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1、第4章解非线性方程的迭代法本章讨论求非线性方程(x)=0(4.1)的根的问题.其中(x)是高次多项式函数或超越函数.如(x)=3x5-2x4+8x2-7x+1(x)=e2x+1-xln(sinx)-2等等.§1二分法设(x)在区间[a,b]上连续且(a)(b)<0,根据连续函数的介值定理,区间[a,b]上必有方程(x)=0的根,称[a,b]为方程(x)=0的有根区间.,得到新的有根区间[a1,b1],设(x)在区间[a,b]上连续且(a)(b)<0.0abyxy=(x)记a0=a,b0=b,计算若

2、(x

3、0)

4、<,则取x0;否则,若(a0)(x0)<0,取a1=a0,b1=x0;若(a0)(x0)>0,取a1=x0,b1=b0而且有根区间[a1,b1]长度是有根区间[a0,b0]长度的一半,x0再对有根区间[a1,b1]重复上面运算,即:计算若

5、(x1)

6、<,则取x1;否则,若(a1)(x1)<0,取a2=a1,b2=x1;若(a1)(x1)>0,取a2=x1,b2=b1,得到新的有根区间[a2,b2].x1而且有根区间[a2,b2]长度是有根区间[a1,b1]长度的一半.一直进行下去,直到求出有根区间

7、[ak,bk].或者有

8、(xk)

9、<,或者有此时,再计算可见,k趋向无穷大时,xk收敛于.而且,若要

10、xk-

11、<,只要此时可取近似根xk.在计算过程中,若出现

12、(xk)

13、<1,或bk-ak<2.则可取xk作为方程(x)=0的近似根,终止运算.例1用二分法求x3+4x-7=0在区间[1,2]内根的近似值,并估计误差.解这里(x)=x3+4x-7，(1)(2)=-18<0,而且(x)=3x2+4>0,所以(x)=0在[1,2]区间有唯一根.取x0=1.5,由于(x0)=2.375,得新有根区间[1,1

14、.5],x1=1.25,由于(x1)=-0.0468,得新有根区间[1.25,1.5],x2=1.375,由于(x2)=1.0996,得新有根区间[1.25,1.375],x3=1.3125,由于(x3)=0.511,得新有根区间[1.25,1.3125],………………………………………………….x9=1.254882813,得有根区间[1.254882813,1.255859375],x10=1.255371094,(x10)=-0.000105285取x10=1.255371094作为方程根的近似值,且有只需k>5l

15、n210-115.61.即需取x16.如果取精度=10-5,则要使二分法要求函数在区间[a，b]上连续，且在区间两端点函数值符号相反，二分法运算简便、可靠、易于在计算机上实现。但是，若方程(x)=0在区间[a，b]上根多于1个时，也只能求出其中的一个根。另外，若方程(x)=0在区间[a，b]有重根时，也未必满足(a)(b)<0.而且由于二分法收敛的速度不是很快,一般不单独使用,而多用于为其他方法提供一个比较好的初始近似值.§2.1简单迭代法的一般形式§2简单迭代法首先把方程(x)=0改写成等价(同解)形式x=(x

16、)(4.2)得到迭代序列{xk},如果xk,则有=(),即是方程(x)=0的根.取一个合适的初始值x0,然后作迭代xk+1=(xk),k=0,1,2,…(4.3)这种求方程根的方法称为简单迭代法,或逐次逼近法.其中(x)称为迭代函数,式(4.3)称为迭代格式.若迭代序列{xk}收敛,则称简单迭代法是收敛的.解改写原方程为等价方程求方程x3-2x-3=0在[1,2]内的根.例2,建立迭代格式如果取初值x0=1.9,计算得kxkkxk0123451.91.894536471.893521141.893332331.89

17、3297221.89329069678910…1.893289471.893289251.893289211.893289201.89328920……由计算结果有，x10=x9，因此可取x10=1.89328920.方程也可改写成x=(x3-3)/2,建立迭代格式xk+1=(xk3-3)/2,k=0,1,2,…仍取初值x0=1.9,则有x1=1.9295,x2=2.0917,x3=3.0760,x4=13.0529可见,xk,此迭代格式是发散的.§2.2简单迭代法的收敛条件及收敛阶首先，(x)应使初值x0产生的序列{xk}

18、[a,b],即(x)的值域落在定义域内.另外,从几何上看:xoyy=xy=(x)x0x1x2xoyy=xy=(x)x0x1x2xoyy=xy=(x)x0x1x2xoyy=xy=(x)x0x1x2x4x31.a(