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1、(不定积分)第四章不定积分第一节不定积分的概念和性质定义1设函数F(x)与f(x)都在区间I上有定义,如果对于任意的x∈I都有F’(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx则称F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数.例如x3是3x2在整个区间上的函数,-cosx是sinx的原函数一、原函数与不定积分的概念下面的问题是已知原函数的存在,怎样求?定理1若函数f(x)在区间I上连续,则它在I上存在原函数F(x),即对于任意的x∈I，都有F’(x)=f(x).例如所有的初等函数在各自的定义域内都连续,它们都有原函数。定理2设F(x)
2、是f(x)在区间I上的一个原函数,则(1)F(x)+C也是f(x)的原函数.(2)f(x)的任意两个原函数之间仅相差一个常数.证明:(1)因为[F(x)+C]’=F’(x)=f(x).所以F(x)+C也是f(x)的原函数(2)设F(x)和G(x)是f(x)在区间I上的任意两个原函数,由于[G(x)-F(x)]’=G’(x)-F’(x)=f(x)-f(x)=0所以G(x)-F(x)=C,G(x)=F(x)+C。这表示f(x)如果存在原函数,则所有的原函数只相差一个常数.定义2f(x)在区间I上的原函数全体称为f(x)在I上的不定
3、积分,记作∫称为积分号,f(x)为被积函数,f(x)dx为被积表达式,x为积分变量,C是积分常数注意:所有的原函数在图象上是相互平移的曲线,在同一点它们有相互平行的切线.如果要求原函数的曲线通过某一点,则此曲线对应的原函数是唯一的.例1求函数f(x)=3x2的不定积分.例2:求解:解:例3设曲线y=f(x)的切线斜率为2x,且曲线通过点(1,2).求此曲线方程.解:代入初值条件，得到2=1+C，C=2-1=1f(x)=x2+1由此可见,微分和积分是互为逆运算.先算不定积分后求导,则它们相互抵消,反之先微分再不定积分,则抵消后相
4、差一个常数.例4下列各函数是同一函数的原函数吗?分析:因为同一函数的原函数之差是一常数,我们有是同一函数的原函数.所以在积分中可能出现的原函数的形式不一致,但可以变形成相同的原函数,它们只相差一个常数由于微分和积分是互为逆运算,所以把第二章中的基本微分公式逆写,就得到基本积分表。二、基本积分表例5把被积函数展开成代数和的形式,然后再积分的情况是常用的方法.而被积函数都是幂函数又是不定积分中用得最多的.初学者往往容易出错.例如(1)把求导和积分搞混了,(2)、(3)虽然分清求导和积分,但在系数,正负号的处理上有错误.对这类积分的
5、计算应该先写出原函数中x的幂次(为原来的幂次加1)再把现在的幂次的倒数作为系数.例如三、不定积分的性质性质1若函数f(x)与g(x)在区间I上的原函数都存在,则性质2若函数f(x)在区间I上的原函数存在,实数k≠0,则推论若fi(x)(i=1,2,...n)在公共区间I上都有原函数,且ki为常数,则例6设p(x)=a0+a1x+...+anxn,求∫p(x)dx解:例7例8例9例10例11例12例13
