§3[1].4-非奇次偏微分方程的定解-....ppt

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1、第四节、非奇次偏微分方程的定解问题1、Fourier展开法令其奇次边界条件、奇次偏微分方程的分布方程的解系为：例，对于受外力驱动的一维弦振动问题：利用Fourier展开，将函数u(x,t),f(x,t)展开为:所以：对比展开系数得：再由初识化条件：得：将初始条件也作Fourier展开：则：最终得关于Tn(t)常微分方程的定解问题：上式的解可表示为：这里分别为非奇次偏微分方程的一个特解。最终可得非奇次偏微分方程的解为：这里Tn(t)为：2、冲量定理法该定解问题为非奇次偏微分方程、奇次边界条件、奇次初始化条件。若将持续受力过程理解为在不连续时间点上多次短时间的瞬间受力，则定解问题可以表示为：还

2、是考虑受外力驱动的一维弦振动问题：同时令：则：假设在时刻所受瞬间力作用的定解问题可以表述为：则在时：而时间由演化至，则：由此得：所以：这是奇次边界条件的奇次偏微分方程，利用前面的讲解即可求解得，最后可得：则在时刻所受瞬间力作用的定解问题可以以为初始点重新表述为：而对于任意非奇次初始条件问题：则令：，且分别满足：则可以借助于冲量定理计算，则利用奇次偏微分方程、奇次边界条件的定解问题求解。例1：对于有外力驱动的弦振动问题，其定解问题为：求弦振动。解：则在时刻所受瞬间力作用的定解问题为：利用分离变量法求解，得的通解式为：根据初始条件：则：则为：则最后得：3、Green函数法对于有外力驱动的弦振动

3、问题，其定解问题为：以弦振动问题为例，将持续作用力，考虑为点源力的作用，并求解点源力的振动解，持续力的作用可以表示为点源力作用的合振动。采用Green函数方法，驱动力表示为：f(x,t)被表示为点源的合作用，只要求解点源的定解问题，就可以通过点源积分得到持续力作用的解，令点源引起的振动为为Green函数：。并满足：显然，Green函数满足的定解问题为：利用冲量法的讨论，此定解问题可以转化为：这是一个奇次边界条件、奇次偏微分方程的定解问题，若可解，则：例2、对于有外力驱动的弦振动问题，其定解问题为：求弦振动。解：Green函数的定解问题为：利用分离变量法求解，得的通解式为：将函数作Four

4、ier展开：Green函数的解为：显然：所以：则由初始条件有：弦振动的解为：若驱动力为周期驱动：，则：例2：考虑热传导问题，若系统内部存在热源，系统与边界绝热，系统初始时刻与环境处于热平衡态，其定解问题为：求解温度分布。解：采用Green函数法，Green函数的定解问题为：利用分离变量法求解，得的通解式为：若令，则Green函数的解为：将函数作Fourier展开：根据初始条件有：则：利用Green函数法得到的解为：若热源为周期驱动：