6、向量代数与空间解析几何

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1、第6章向量代数与空间解析几何一、内容提要（一）主要定义1.=axi+ayj+azk的模为2.a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk数量积(点积)为：ab=abcos(ab)向量积(叉积)为：ab,其模为ab=absin(ab)其方向服从右手法则3.混合积：[abc]=(ab)c方向余弦为（二）主要结论1.设a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),c=(cx,cy,cz),则ab=axbx+ayby+azbz2.平面方程(1)一般式Ax+By+Cz+D=0.(2)点法式A(

2、x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.(3)截距式(4)三点式过M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),(5)法式方程cosx+cosy+cosz+p=0式中cos,cos,cos为平面上点(x,y,z)处法向量的方向余弦,p为原点到平面的距离.M3(x3,y3,z3),的平面方程为3.直线方程一般式(2)对称式(3)参数式(4)向量式r=r0+st.式中(5)两点式4.点到平面的距离5.重要的二次曲面(1)球面(x–x0)2+(y–y0)2+(z–z0)2=R2(2)椭球面(3)锥面(4)椭

3、圆抛物面(5)双曲抛物面(p,q异号).(6)柱面F(x,y)=0(7)单叶双曲面(8)双叶双曲面6.夹角(1)两平面的夹角设1:A1x+B1y+C1z+D1=0,2:A2x+B2y+C2z+D2=0,(2)两直线的夹角(3)直线与平面的夹角设1:A1x+B1y+C1z+D1=0,（三）结论补充1.非零向量a,b互相垂直的充要条件是ab=0,互相平行的充要条件是ab=0.2.非零向量a,b,c共面的充要条件是(ab)c=0.3.过两平面A1x+B1y+C1z+D1=0与A2x+B2y+C2z+D2=0交线的平面束方程

4、为:5.Prj(a+b)=Prja+Prjb,(A1x+B1y+C1z+D1)+(A2x+B2y+C2z+D2)=0.4.设M0是直线L外一点,M是直线L上任一点,且直线的方向向量为s,则M0到直线L的距离8.空间异面直线L1,L2的方向向量为s1,s2,A,B分别为L1,L2上的两点,则L1与L2之间的距离为:6.向量积的运算(1)a(bc)=(ac)b-(ab)c(2)(ab)c=(ac)b-(cb)a(3)a(bc)+b(ca)+c(ab)=07.不共线的空间三点A,B,C所决定的平面面积为

5、:二、归类解析（一）向量代数例6-1设2a+5b与a-b垂直,2a+3b与a-5b垂直,求(ab).例6-2设A=2a+b,B=ka+b,其中a=1,b=2,且ab,例6-3从点A(2,-1,7)沿向量=8i+9j-12k的方向取线段长AB=34,求点B的坐标.试问:(1)k为何值时,AB;(2)k为何值时,以A,B为邻边的平行四边形的面积为6.例6-4已知p,q和r两两垂直,且p=1,q=2,r=3,求s=p+q+r的长度.例6-5已知p=2,q=3,(pq)=/3,求以A=3p-4q和B=

6、p+2q为两邻边的平行四边形的周长.例6-6证明恒等式[(a+b)(b+c)](c+a)=2(ab)·c.例6-7用向量代数的方法证明三角形的三条高交于一点.（二）空间平面与直线1.空间平面例6-8求通过直线的平面方程.,且平行于直线例6-9经过两平面4x-y+3z-1=0和x+5y-z+2=0的交线作一平面,使之与平面2x-y+5z=0垂直.例6-10在由平面2x+y-3z+2=0和平面5x+5y-4z+3=0所决定的平面束内,求两个相互垂直的平面,其中的一个经过点(4,-3,1).例6-12在过直线L:的所有平面中,求一平面

7、,使原点到的距离最长.例6-11一平面通过两直线L1:s=(1,0,1),求此平面方程.的公垂线L,且平行于向量2.空间直线例6-13推导两异面直线间的距离公式,并用此公式求两直线之间的距离.例6-14设有直线求平行于L1而分别与L2,L3都相交的直线方程.例6-15在平面x+y+z+1=0内,作直线通过已知直线,与平面的交点且垂直于已知直线.例6-16坐标面在平面3x-y+4z-12=0上截得一个ABC,从z轴上的一个顶点C作对边AB的垂线,求它的方程.例6-17已知入射光线路径为,求该光线经平面x+2y+5z+17=0反射后的反

8、射线方程.3.点、线、面的其他问题例6-18求点(1,2,3)到直线的距离.例6-19试证曲线是两条相交直线,并求其对称式方程.例6-20一直线过点(2,-1,3)且与直线相交,又平行于平面3x-2y+z+