化工问题的建模与数学分析方法 第3章 习题及答案.doc

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1、第三章习题1.（√）设函数，是一阶拟线性偏微分方程（1.1）的解，是任意常数，求证：的任意函数也是方程（1.1）的解。证明：由分别对x，y求导，得由于g1，g2满足偏微分方程（1.1），因此有将方程分别对x，y求导（7）将（7）代入偏微分方程（1.1）左端，再利用关系式（6），得（8）说明偏微分方程（1.1）也得到满足，因此也是方程的解。2.求下列方程的通解（1）解：由于与存在函数关系，我们得到方程的通解为，为任意函数（2）解：方程通解表示为隐函数，为任意函数（3）解：由（2）得：代入（1）得：整理得：两边

2、同乘以得：即：由于与存在函数关系，我们得到方程的通解为，为任意函数3．（√）求下列问题的解解：该问题的特征线方程为（1）初始曲线表示为（2）由（1）、（2）联立解出（3）消去s,x，得（4）解：特征线方程为（1）（2）由方程（1）解出（3）由初值（2）得代回方程（3），消去s,x，得4．（√）在固定化酶反应器中，生物活性细胞被制备成颗粒状填充于固定床中，反应动力学由Michaelis-Menten方程给出，设流动为平推流，初、边值由给出，求浓度分布。解：依题意，该固定床反应器的数学模型为（1）上述问题的特征

3、线方程为（2）初始曲线I由方程（1）解出初值影响区的解消去x，得边值影响区的解消去h，得5.变截面色谱柱中的线性吸附曲线由以下方程表述式中，流量为常数，，为截面积，若定义以下无量纲变量,则可将方程化为以下形式现考虑环形平面区域的色谱过程，为溶质注入端的环形边界半径，设问题为圆对称，初始浓度为0，注入的溶质浓度为常数，请在r-t平面上绘出边值影响区的特征线，并讨论截面积的变化对波在r方向传播的影响。解：其特征线方程为:在边值影响区，特征线为用r、t表示后为边值影响区的特征线即如上图所示。由上图可看出，随r增大

4、，A(r)增大，增大，减小，在r方向上的波速减小。此外，A(r)还跟该环形区域的厚度有关，即式中的值，当增大时，A(r)增大，特征曲线的曲率增大，增大，减小，在r方向上的波速减小。所以，总的来说，随A(r)增大，特征曲线的曲率增大，增大，减小，在r方向上的波速减小。6．（√）河口附近涨潮后形成水位h的梯级分布落潮时的水位遵循以下方程请描述水位h在落潮时的衰减过程。解：该问题的特征线方程为（1）初始曲线（2）由（1）解得（3）代入（2）中消去初始变量x，就得到用隐函数分段表示的解h(z,t)。7.移动床平衡色

5、谱模型在Langmuir吸附情况下由以下方程给出求：1）对于单组分色谱问题，根据波的追赶现象讨论移动床中激波生成的条件，并给出激波间断关系。2）对于双组分吸附分离问题，给出稳态条件下的解答。设进料流股中含有A、B两种组分，试确定合适的操作速度ur以便将A、B分离。解：1）对于单组分色谱问题，模型简化为其中，令得模型的特征曲线方程为由前两式可得波速的方程当时，，波速为正方向，此时通量－浓度关系为下凸型，随着浓度c的增加，波速单调递增。当时，，波速为反方向，此时通量－浓度关系为上凸型，随着浓度c的增加波速单调递

6、减。因此，激波生成条件可见下表：下凸型（）上凸型（）前低后高型（）激波稀疏波前高后低型（）稀疏波激波根据激波间断条件，取，则有由于饱和问题不产生激波，因此只考虑洗脱问题：设，，。图1.洗脱过程浓度分布图图1给出了浓度分布图像及相应的特征线，由于，每条特征线的浓度保持常数。曲线S右侧的特征线来自初值影响区，该区域，因此，浓度波的速度可由波速方程中令得到，为一组平行的直线；S左侧的特征线来自边值影响区，从t轴出发，该区域，因此，浓度波的速度可由波速方程中令得到，为一组平行的直线。因此，令，对上式进行积分可得其中

7、为积分常数。由初始条件，得到＝0。由此最终得到激波轨迹的解答：2）在稳态条件下，＝0。设组分A浓度为，初始浓度为；组分B浓度为，初始浓度为。因此模型简化为两个常微分方程：对上述两式进行积分可得：其中，、为积分常数。根据初始条件、可确定、的大小。解方程可得为使A、B组分充分分离，这里假设A为弱吸附组分，B为强吸附组分。调整使A在床层中正向传输而B在床层中反向传输，则可达到理想的分离效果。移动床中溶质的净通量为所以由，解得8.在一定的浓度范围，某离子交换过程的等温线可用表示，离子交换柱的模型为请对以下两种情况给

8、出两题的解答（1）饱和过程；（2）洗脱过程。解:将吸附等温线代入离子交换色谱柱模型中，得到：该模型的特征曲线方程为：由前两式可得波速方程1）对于饱和过程，，，。相应的初始曲线在t-x平面上的投影为x轴与t轴。由可知，在浓度曲线上浓度c恒定。该过程浓度分布如图2所示：在左边区域，自t轴引出的特征线、、…的任意一点的斜率，由于为常数，所以该斜率也为常数，特征线为一组发散的平行直线。由可得初始曲线，，。求解特征曲线方程