化工问题的建模与数学分析方法 第四章习题及答案.doc

《化工问题的建模与数学分析方法 第四章习题及答案.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第四章习题1.（√）判别以下方程的类型，并指出变系数中自变量取值范围（1）（2）（3）（4）解：（1）a＝1，b＝2，c＝3，b2－ac>0，是双曲型方程（2）b＝0.5，b2－ac>0，是双曲型方程（3）b2－ac＝x2y2，当x＝0或y＝0时，是抛物线型方程，否则是双曲型方程（4）b2－ac＝xy，当x＝0或y＝0时，是抛物线型方程，当x和y同号时是双曲型方程，否则是椭圆型方程2.（√）证明：（1）圆形区域上Laplace方程在圆对称情况下的通解为式中r为径向极坐标，A、B为任意常数（2）球形区域上Laplace方程在球对称情况下的通解为式中r为径向球坐标，A、B为任意常数

2、证明：（1）在极坐标下，圆型区域内，laplace方程的表达式为在圆对称情况下，原方程可化为，解得（2）同理可证3.（√）用分离变量法求解以下一维热传导方程的定解问题(1)解：设由（4）（5）代入（2）其中An由下式确定：(2)解：首先将方程化齐，为此，令代入方程，得解得于是用分离变量法解问题（12）得特征值特征函数及因此，问题的解为4.解下列矩形域的拉普拉斯方程定解问题解：首先假设问题的解具有以下变量分离的形式（1）代入原方程，得到关于X(x)的特征值问题和Y(y)的方程（2）（3）类似与书P199中对于方程（4.2.5）、（4.2.6）的讨论，这里的参数λ只能取正值，否则只

3、能得到零解。因此方程（2）的通解是（4）由边界条件X'(0)=0知c2=0，再由知，若要有非零解,c1≠0，必须＝0，由此λ应取以下值（n=1,2,3,…）（5）由此得到（n=1,2,3,…）（6）由方程（3）可得（7）将λ值代入方程（7），得（n=1,2,3,…）（8）从而由方程（1）得到，（9）式（9）中An=A1nCn，Bn=B1nCn，均为任意常数。根据叠加原理构造以下级数形式的解（10）令上式满足y的边界条件，得到确定系数An，Bn的方程将以上两式的右端展开为的傅立叶级数，然后逐项比较系数，得到由此解得代入方程（10），于是问题的解最终为（n=1,2,3,…）5．对于

4、第一章习题2所述的池塘结冰问题，如果空气温度TW每天呈现周期性变化，其规律用以下方程描述求冰层中的温度分布及厚度l的时间变化趋势，若给定冰的导温系数，TW＝－10℃，DT＝5℃，t＝86400s，再问冰冻三尺需几日之寒？提示：在求冰层中温度分布时，其厚度可作为常数考虑。在一般情况下，还可以将气温TW进一步考虑为时间t的Fourier级数以反映天气的逐日变化和中长期变化的影响。解：a）可用一维热传导方程来描述该过程，假定厚度l不变假定定解为下列形式，T=F(t)G(x)。由于温度变化是周期的，则F(t)中解的指数为虚数，原一维热传导方程可化为即解得由此将产生4个特解当时，T有界，

5、故将T4和T3舍去，将T1和T2相加得到另一个特解用三角函数进行表示，依照边界条件确定常数A，B和λ比较得在x＝0处，其平均温度是零瞬间时初始瞬变的结果。这一变化的阶梯解是：将此式子附加至解，得:上式并不满足初始条件，所以不能用于很小的时间范围。但是对于很大的t值，趋于零，结果形成的表示式可以很好地表示在初始瞬变已消失的情况下的周期温度分布：b）厚度l的时间变化趋势由一维热传导公式可得：其中为潜热两端分别积分可得将具体数值代入上式，用matlab解得t＝6882779.6s＝79.6天。随着时间的增加，负积温逐渐累积，冰层不断加厚，但是速度越来越缓慢。6．（√）求图示的半环形区

6、域内的稳态温度分布()边界条件为：当r＝c时，u＝u0，其余边界保持0度。解：极坐标系下的热传导方程为（提示：本题作法与第四章第2节情况3介绍的圆上Laplace方程的第一边值问题解法类似，参见p204，区别有两点：一是此处为半圆，0

7、参见图7.1。设膜内流速分布由下式给出（此处y＝０为气液界面）则膜内反应物的浓度分布由以下方程描述式中δ为膜厚，D为反应物在液相中的扩散系数，k为一级反应速率常数。边界条件为试导出上述问题的特征值问题，判断特征值和特征函数是否存在，给出其正交性定义。假设特征函数Yn(y)为已知,试给出膜内浓度分布c(x,y)的级数形式的解，并给出其中系数的计算公式。解：首先将边界条件化零，为此令-------------------------------------------（1）得----------