常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题38 数列通项的求法.doc

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1、第38讲：数列通项的求法（构造法）【考纲要求】1、了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）。2、掌握等差数列、等比数列的通项公式。【基础知识】一、数列的通项公式类型三：已知，一般利用待定系数法构造等比或等差数列求通项。类型四：已知，一般利用待定系数法构造等比数列求通项。类型五：已知，一般利用倒数构造等差数列求数列的通项。类型六：已知，一般利用取对数构造等比数列。【方法讲评】例1已知数列{}满足=1，=()，求数列{}的通项公式。解：构造新数列，其中p为常数，使之成为公比是的系数2的等比数列即=整理得：=使之满足=∴p=1即是首项为=2，q=2的等比数列∴==【点评

2、】（1）已知，一般可以利用待定系数法构造等比数列，其公比为（2）注意数列的首项为，不是对新数列的首项要弄准确。【变式演练1】已知数列{}中，=2，=，求{}的通项公式。例2已知数列满足，求数列的通项公式。解：设⑧将代入⑧式，得，则等式两边消去，得，为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。【点评】本题解题的关键是把递推关系式转化为，其中要用到待定系数法，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。【变式演练2】在数列{}中，，=6，求通项公式.例3已知数列满足，求数列的通项公式。解：设①将代入①式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入①式得②由及②式得

3、，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。例4已知数列满足，，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。【变式演练4】数列{}满足且。求、、是否存在一个实数，使此数列为等差数列？若存在求出的值及；若不存在，说明理由。类型四构造法四使用情景已知解题步骤一般利用待定系数法构造等比数列求通项。例5数列中，，求数列的通项公式。解：比较系数得若取∴为首项的等比数列即由累差法可得=[来源:Zxxk.Com]==类型五构造法五使用情景已知解题步骤[来源:学科网]一般利用倒数构造等差数列求数列的通项。例

4、6已知数列满足求数列的通项公式。解：取倒数∴式。类型六构造法六使用情景已知解题步骤一般利用取对数构造等比数列。例7若数列{}中，=3且（n是正整数），求它的通项公式是。【高考精选传真】1.【2012高考真题广东理19】设数列的前项和为，满足，且成等差数列。（1）求的值；（2）求数列的通项公式。（3）证明：对一切正整数，有当时，由上式得：对一切正整数，有（lfxlby）2.【2012高考真题全国卷理22】（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）函数f(x)=x2-2x-3，定义数列{xn}如下：x1=2，xn+1是过两点P（4,5）、Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交

5、点的横坐标.（Ⅰ）证明：2xn＜xn+1＜3；（Ⅱ）求数列{xn}的通项公式.下面用数学归纳法证明[来源:学科网]当时，，满足假设时，成立，则当时，，由即也成立综上可知对任意正整数恒成立。下面证明由由，故有即综上可知恒成立。（2）由得到该数列的一个特征方程即，解得或①②两式相除可得,而[来源:学科网ZXXK]故数列是以为首项以为公比的等比数列[来源:Z.xx.k.Com],故。下面用数学归纳法证明当时，，满足假设时，成立，则当时，，由即也成立综上可知对任意正整数恒成立。下面证明由两式相除可得,而故数列是以为首项以为公比的等比数列[来源:Z.xx.k.Com],故。【反馈训练】1．已

6、知数列中，，，求.2.设数列的前项和为，若对于任意的n∈N*,都有，(1)求数列的首项与递推关系式；(2)先阅读下面定理，若数列有递推关系,其中A、B为常数，且A≠1,B≠0,则数列{-}是以A为公比的等比数列，请你在第（1）题的基础上应用本定理，求数列的通项公式;(3)求数列的前项和为.3．在数列{}中，=2，=，求数列的通项。4．已知数列{}中，=1，=，求数列的通项公式。5、数列{}满足=()，首项为，求数列{}的通项公式。6．数列{}中，=5，且（n=2、3、4……），试求数列{}的通项公式。7.已知数列的前n项和Sn满足(Ⅰ)写出数列的前3项(Ⅱ)求数列的通项公式．12.

7、设数列的前项和为已知（1）设，证明数列是等比数列（2）求数列的通项公式。13．已知数列满足（1）求的值；（2）证明：数列是等比数列；（3）求数列的通项公式；14．已知数列{}，=，，求=？15．已知数列{}满足，且（）求数列{}的通项公式。16．已知各项均为正数的数列{}满足：，且，求数列{}的通项公式。【变式演练详细解析】【变式演练1详细解析】构造新数列，使之成为的等比数列=整理得：=+使之满足已知条件=+2∴解得∴是首项为的等比数列，由此得=∴=由(n=1、2、3