2021版高三数学解题万能解题模板22 平面向量中最值、范围问题【解析版】.docx

《2021版高三数学解题万能解题模板22 平面向量中最值、范围问题【解析版】.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、专题22平面向量中最值、范围问题【高考地位】平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题.方法一利用基本不等式求平面向量的最值万能模板内容使用场景一般平面向量求最值问题解题模板第一步利用向

2、量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系；第二步运用基本不等式求其最值问题；第三步得出结论.例1、已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且,则的最小值是___________【答案】【解析】第一步，利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系：由可得，，根据A，B，C三点共线可得，且，第二步，运用基本不等式求其最值问题：所以，第三步，得出结论：38/38所以最小值为。【变式演练1】【湖南省长沙市雅礼中学2020届高三下学期高考模拟】已知四边形是边长为1的正方形，P为对角线上一点，则的最小值是（

3、）A．0B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据向量的加法和向量的数量积的定义，以及再利用基本不等式可得出，可得选项.【详解】作出图形如下图所示，，而此时，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值是，故选：B.【点睛】本题考查向量的加法和向量的数量积的运算，以及基本不等式的应用求最值，属于中档题.【变式演练2】【浙江省2020届高三下学期6月新高考进阶】若，，平面内一点，满足，的最大值是（）38/38A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】由条件可得，是角平分线，然后由角平分线的性质可得，设，则，然后，即可得出的最大值.【详解】由

4、，可得因为，所以，即是角平分线所以由角平分线的性质可得设，则，由可得因为当且仅当，即时等号成立，即的最小值为所以的最大值是，故选：C【点睛】本题考查了平面向量的数量积、余弦定理和利用基本不等式求最值，考查了学生的分析转化能力，属于中档题.38/38方法二建立直角坐标系法万能模板内容使用场景一般向量求最值或取值范围类型解题模板第一步根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标；第二步将平面向量数量积的运算坐标化；第三步运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解即可.例2（1）在中，，，点是所在平面内一

5、点，则当取得最小值时，（）A.B.C.D.24【答案】D【解析】第一步，根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标：以C为坐标原点，直线CB,CA分别为x,y轴建立直角坐标系，则，设第二步，将平面向量数量积的运算坐标化：第三步，运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解即可：当时取得最小值，，选D.【点评】：(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.学科*网38/38(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、

6、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.例2（2）在中,,若长为的线段以点为中点,问与的夹角取何值时的值最大?并求出这个最大值.【答案】.【解析】：第一步，根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标：以为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。第二步，将平面向量数量积的运算坐标化：第三步，运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解即可：38/38当即(与同向)时,的最大值为.【点评】通过建立适当的直角坐标

7、系，将向量的数量积坐标化，从而转化常见的求函数最值问题.【变式演练3】【2020届河南省开封市高三二模】己知平行四边形中，，，对角线与相交于点，点是线段上一点，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，求出直线的方程为，设点，，求出的解析式，再利用二次函数求出函数的最小值即得解.【详解】如图所示，以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则，38/38所以直线的方程为，设点，，所以，所以，当时，取到最小

8、值.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和运算，考查函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，解决本题的关键是联想到建立坐标系利用坐标来研究.【变式演练4】【浙江省2020届高三新高考模拟试题心态卷】已知AB是半圆O的直径，