2018年高考数学 专题21 平面向量中最值、范围问题黄金解题模板

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1、专题21平面向量中最值、范围问题【高考地位】平面向量中的最值和范围问题,是一个热点问题,也是难点问题,这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围,如:向量的模、数量积、夹角及向量的系数.解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系,通过函数的值域解决问题,同时,平面向量兼具“数”与“形”的双重身份,解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合.在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题,其试题难度属中高档题.【方法点评】方法一利用基本不等式求平面向量的最值使用情景:一般平面向量求最值问题解题模板:第一步

2、利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系;第二步运用基本不等式求其最值问题;第三步得出结论.例1.已知点A在线段BC上(不含端点),O是直线BC外一点,且,则的最小值是___________【答案】例2如右图所示,已知点是的重心,过点作直线与两边分别交于两点,且,则的最小值为()A.2B.C.D.【答案】C【变式演练1】如图所示,已知点是的重心,过点作直线与两边分别交于两点,且,则的最小值为()CMNABGQA.2B.C.D.【答案】C考点:向量共线,基本不等式求最值【变式演练2】已知点A(1,-1),B(4,0

3、),C(2,2).平面区域D由所有满足(1≤l≤a,1≤m≤b)的点P(x,y)组成的区域.若区域D的面积为8,则a+b的最小值为.【答案】4考点:1、平面向量的线性运算;2、基本不等式.【变式演练3】平行四边形中,为平行四边形内一点,且,若,则的最大值为.【答案】【解析】试题分析:对两边平方可得可化为,据已知条件可得,即,又,则.故本题填.考点:向量的数量积运算;基本不等式方法二利用向量的数量积求最值或取值范围使用情景:涉及数量积求平面向量最值问题解题模板:第一步运用向量的加减法用已知向量表示未知向量;第二步运用向量的数量积的

4、性质求解;第三步得出结论.例3已知的顶点坐标为,,,点P的横坐标为14,且,点是边上一点,且.(1)求实数的值与点的坐标;(2)求点的坐标;(3)若为线段(含端点)上的一个动点,试求的取值范围.【答案】(1)(2)(3).考点:向量的数量积,向量共线.【点评】其解题思路为:(1)由,根据向量共线,设出P点坐标即可得;(2)设出Q点坐标,根据可得一个方程,然后利用Q在AB上利用向量共线得另一个方程,解方程组可得Q点坐标;(3)由R在线段OQ上可利用向量共线设R坐标,注意引入的变量范围,然后分别表示出向量利用数量积得出一个关于的二次

5、函数,求这个关于的二次函数的最值即可得.【变式演练4】已知向量不共线,为实数.(Ⅰ)若,,,当为何值时,三点共线;(Ⅱ)若,且与的夹角为,实数,求的取值范围.【答案】(1)(2).(Ⅱ)由,则,因为,当时,的最小值为当时,的最大值为所以的取值范围是考点:(1)平面向量数量积的运算(2)平行向量与共线向量.【变式演练5】若直线与圆交于、两点(其中为坐标原点),则的最小值为()A.1B.2C.3D.4【答案】D考点:直线与圆的位置关系;平面向量数量积的运算.方法三建立直角坐标系法使用情景:一般向量求最值或取值范围类型解题模板:第一步

6、根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标;第二步将平面向量数量积的运算坐标化;第三步运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解即可.例3.在中,,,点是所在平面内一点,则当取得最小值时,()A.B.C.D.24【答案】D【解析】以C为坐标原点,直线CB,CA分别为x,y轴建立直角坐标系,则,设当时取得最小值,,选D.【点评】:(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来,这就为向量和函数的结合提供了前提,运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函

7、数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算,将问题转化为解不等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法.例4在中,,若长为的线段以点为中点,问与的夹角取何值时的值最大?并求出这个最大值.【答案】.当即(与同向)时,的最大值为.【点评】通过建立适当的直角坐标系,将向量的数量积坐标化,从而转化常见的求函数最值问题.【变式演练6】如图,在等腰直角三角形ABC中,,D,E是线段BC上的点,且,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A考点:平面向量数量积的运算.【变式演练7】在平面上,.若,则的取值范围是()A.B

8、.C.D.【答案】D考点:平面向量的性质.【高考再现】1.【2017全国II卷文,4】设非零向量,满足则A.⊥B.C.∥D.【答案】A2.【2017全国II卷理,12】已知是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则的最小是()A.B.C.D.【答案】B3.

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