不等式的常见证明方法.docx

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1、不等式常见的三种证明方法渠县中学刘业毅一用基本不等式证明设a,b,c都是正数。求证：bcacababc.abc证明：bcac2bc?ac2c.ababbcab2bc?ab2b.acacacab2ac?ab2a.bcbc2(bcacab)2(abc).abcbcacababcabc.点评：可用综合法分析乘积形式运用不等式可以转化为所求。222思维训练：设a,b,c都是正数。求证：bcaabc.abc二放缩法证明不等式已知，对于任意的n为正整数，求证：1112<71+2+2++423n分析：通过变形将数列{12}放缩为可求数列。n解：1111—1（n2）2=<=nn?nn(n1)

2、n1n1+1+1++12<1+1+1+1++122n23243n(n1)232=1+1+(1—1+1—1++n1—1)423341n=5+1—142n=7—14n点评：放缩为可求和数列或公式是高考重要思想方法。思维训练：设a,b,c都是正数，a+b>c,求证：abc+>1a1b1c三构造函数法证明证明不等式ln2111ln3（n为正整数）n23nn1分析：显然要构造一个含n的不等式，然后用叠加法证明。我们构造一个函数f(x)1xlnx,f'(x)x1x=1时取得最小值0.及对x>0有不等式x2,可得这个函数在xlnx11，如果令x=k1，则有lnk11，如果令x=kk，则lnk

3、1，xkkk11k1k即11ln(k1)lnk1，然后叠加不等式即可。k1xk1解：设函数f(x)lnx，则易证f(x)0，即不等式lnx1对于x>0恒成立，xx令x=k1，则有lnk11，令x=k，则lnk1，即lnk11成立。kkk1k1k1kkk从而有1ln(k1)lnk1。k1k在不等式lnk11中，分别令kn1,n2,,3n,得到一系列不等式相加为kk111ln(n1)ln(n2)ln(n2)ln(3n1)n1n23n即11n121>ln3n1ln2n2ln2n3nn1n1在不等式lnk11中，分别令k=n,n+1,3n-1,并把所得的不等式相加，得kk1111

4、nln(n1)ln(n1)ln3n3nln3n1n2ln13n11n即不等式ln2ln3（n为正整数）成立。n1n23n点评：对于有n项与常值的不等式证明，我们可以构造新函数，用求导求函数单调性及最值，来完成不等式的转化与证明。一般步骤为：构造函数——研究单调性——赋值化归不等式——整理得到结论。