分布函数的估计与检验

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1、西南交通大学李裕奇非参数统计1西南交通大学4.1分布函数的估计与检验一经验分布函数二分布拟合检验一经验分布函数经验分布函数是总体分布函数最为直观、方便实用的估计定义1.1设X为一随机变量，其分布函数F(x)未知，现对X进行n次观测，记称为经验分布函数3西南交通大学性质1.1对于每一样本XI,X2,…Xn，Fn(x)是一分布函数，且为阶梯函数。4西南交通大学例1.1对某一总体进行了17次独立观测，得到以下数据：2.572.312.121.922.752.712.602.512.502.412.222.312.

2、252.202.192.152.00试写出X的经验分布函数。5西南交通大学性质1.2对于固定的x，vn(x)=nFn(x)，Fn(x)是样本XI,X2,…Xn，为随机变量，且vn(x)服从参数为n，F(x)的二项分布。6西南交通大学性质1.3对于固定的x，任意的正数ε，有所以,当n足够大时,可用经验分布函数估计总体的理论分布函数:7西南交通大学例1.2对某一总体进行了17次独立观测，得到以下数据：2.572.312.121.922.752.712.602.512.502.412.222.312.252.20

3、2.192.152.00试估计概率:8西南交通大学解:将数据从小到大排列为:1.9222.122.152.192.22.222.252.312.312.412.52.512.572.62.712.759西南交通大学Glivenko定理:对任意的x,有下式成立:其中:进一步结果:10西南交通大学Kolmogonov定理设总体分布函数为F(x)连续,经验分布函数为Fn(x),则统计量的极限分布函数为Kolmogonov分布函数:其中11西南交通大学二分布拟合检验分布检验假设:分布拟合检验方法是检验试验结果与理论

4、分布是否吻合,是否一致的方法,:如概率纸拟合法,卡方拟合检验法,Kolmogonov分布检验方法等12西南交通大学1卡方拟合检验法基本思想:1)首先把X的一切可能值的集合A进行划分,使其满足:2)再统计出总体的观测值出现在各个Ai中的实际频数ni,13西南交通大学3)在H0真时,分别计算观测值落入Ai的理论期望频数的估计值:4)当H0真时,理论期望频数Ei与实际频数ni应相差无多,故由Pirson与Fisher定理给出的卡方分布确定H0的拒绝域。14西南交通大学Pirson-Fisher定理：若n充分大时，

5、H0成立条件下，有其中r是被估计的参数的个数。15西南交通大学卡方拟合检验法步骤：1）提出分布假设:2）显著性水平？样本容量？3）H0的拒绝域：4）判断：列出卡方检验计算表，得出卡方值，并与临界值比较得结论16西南交通大学nipinpini-npi(ni-npi)2/npiA1A2Ak合计n1n0检验计算表17西南交通大学例1.3在使用仪器进行测量时,最后一位数字是按仪器的最小刻度用肉眼估计的,下表记录了200个测量数据中0,1,2,…,9等10个数字出现在最后一位的次数,试问在估计最后一位数字时有无系统误

6、差?X0123456789ni3516151717191116302418西南交通大学解：1）提出分布假设:2）显著性水平为0.01,样本容量为2003）H0的拒绝域：H0:无系统误差;H1:有系统误差分类数k=10,r=0,k-r-1=9H0真,即总体X均匀取值,其取值的概率应为19西南交通大学4）判断：列出卡方检验计算表:nipinpini-npi(ni-npi)2/npiA1350.1201511.25A2160.120-40.8A3150.120-51.25A4170.120-30.45A5170.

7、120-30.45A6190.120-10.05A7110.120-94.05A8160.120-40.8A9300.120105.0A10240.12040.8合计2001200024.9020西南交通大学所以,应拒绝H0,认为在估计最后一位数字时有明显的系统误差。21西南交通大学例1.5在测量了12000个豆粒的厚度，测量结果按大小分为16个组分别记数，如果如下表：区间<7.00[7,7.25)[7.25,7.5)[7.5,7.75)[7.5,8.0)[8.0,8.25)频数32103239624118

8、71650区间[8.25,8.5)[8.5,8.75)[8.75,9.0)[9.0,9.25)[9.25,9.5)[9.5,9.75)频数1883193016381130737437区间[9.75,10)[10,10.25)[10.25,10.5)>10.5频数2211105732计算出平均值8.512,标准差0.6163,试问可否认为豆粒厚度的分布为正态的(显著性水平0.001)22西南交通大学解：1）提出分布