2021届高考数学二轮复习高频考点微专题25 定积分（原卷word版）.docx

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1、微专题二十五定积分一、基础知识1、相关术语：对于定积分（1）称为积分上下限，其中（2）：称为被积函数（3）：称为微分符号，当被积函数含参数时，微分符号可以体现函数的自变量是哪个，例如：中的被积函数为，而的被积函数为2、定积分的几何意义：表示函数与轴，围成的面积（轴上方部分为正，轴下方部分为负）和，所以只有当图像在完全位于轴上方时，才表示面积。可表示数与轴，围成的面积的总和，但是在求定积分时，需要拆掉绝对值分段求解3、定积分的求法：高中阶段求定积分的方法通常有2种：（1）微积分基本定理：如果是区间上的连续函数，并且，那么使

2、用微积分基本定理，关键是能够找到以为导函数的原函数。所以常见的初等函数的导函数公式要熟记于心：①寻找原函数通常可以“先猜再调”，先根据导函数的形式猜出原函数的类型，再调整系数，例如：，则判断属于幂函数类型，原函数应含，但，而，所以原函数为（为常数）②如果只是求原函数，则要在表达式后面加上常数，例如，则，但在使用微积分基本定理时，会发现计算时会消去，所以求定积分时，不需加上常数。（2）利用定积分的几何含义：若被积函数找不到原函数，但定积分所对应的曲边梯形面积易于求解，则可通过求曲边梯形的面积求定积分。但要注意曲边梯形若位于

3、轴的下方，则面积与所求定积分互为相反数。4、定积分的运算性质：假设存在（1）作用：求定积分时可将的系数放在定积分外面，不参与定积分的求解，从而简化的复杂程度（2）作用：可将被积函数拆成一个个初等函数的和，从而便于寻找原函数并求出定积分，例如（3），其中作用：当被积函数含绝对值，或者是分段函数时，可利用此公式将所求定积分按区间进行拆分，分别求解。5、若具备奇偶性，且积分限关于原点对称，则可利用奇偶性简化定积分的计算（1）若为奇函数，则（2）若为偶函数，则6、利用定积分求曲面梯形面积的步骤：（1）通过作图确定所求面积的区域（

4、2）确定围成区域中上，下曲线对应的函数（3）若时，始终有，则该处面积为7、有的曲面梯形面积需用多个定积分的和进行表示。需分段通常有两种情况（1）构成曲面梯形的函数发生变化（2）构成曲面梯形的函数上下位置发生变化，若要面积与定积分的值一致，则被积函数要写成“上方曲线的函数下方曲线函数”的形式。所以即使构成曲面梯形的函数不变，但上下位置发生过变化，则也需将两部分分开来写。二、典型例题：例1：已知函数，则（）A.B.C.D.【名师点睛】：（1）若被积函数在不同区间解析式不同时，则要考虑将定积分按不同区间进行拆分（2）若被积函数

5、具备“”特征，在无法直接找到原函数时，可考虑其图像的几何意义，运用面积求得定积分，但是要注意判定与定积分符号是否与面积相同例2：（）A.B.C.D.例3：设，则________例4：已知，则（）A.B.C.D.例5：由曲线（为参数）和围成的封闭图形的面积等于___________例6：设（其中为自然对数的底数），则的图像与以及轴所围成的图形的面积为___________例7：曲线与直线所围成的封闭图形的面积为（）A.B.C.D.例8：如图所示，正弦曲线，余弦曲线与两直线所围成的阴影部分的面积为（）A.B.C.D.【名师点

6、睛】：（1）在求曲线围成的面积时，可遵循被积函数始终“上下”的原则，如果函数发生变化或上下位置改变时，则可以将面积分割为若干段，分别求定积分即可（2）本题还可以采用“填补法”，观察到左边较小阴影部分与右侧部分中心对称，所以面积相同，从而可将较小阴影部分填补至右侧。新的阴影部分始终位于上方，可求得阴影部分位于，所以例9：已知，若函数满足，则称为区间上的一组“等积分”函数，给出四组函数：①②③④函数分别是定义在上的奇函数且积分值存在其中为区间上的“等积分”函数的组数是（）A.B.C.D.例10：已知函数，直线（为常数，且），

7、直线与函数的图像围成的封闭图形如图中阴影所示，当变化时阴影部分的面积的最小值为___________【名师点睛】：（1）本题是定积分与导数综合的一道题目，在处理时要理解定积分和导数所起到的作用：定积分用于处理面积，而需要求最值时，非常规函数可用导数解出单调性，从而求最小值。了解每个工具的作用才可在需要时选择正确的方法（2）对于含参数的定积分，首先要确定被积函数的自变量（可观察“”后面的字母），然后将参数视为一个常量参与运算（包括求原函数和代入上下限）即可，所得的结果通常是含参数的表达式。