鸡兔同笼教学过程中体现的数学思想讲课教案.doc

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1、精品好文档，推荐学习交流鸡兔同笼教学过程中体现的数学思想摘要:鸡兔同笼是我国古代著名趣题之一。本文主要讨论了在这个问题中存在的几种重要数学思想。关键词：数学思想化归枚举方程假设建模引言:鸡兔同笼是我国古代著名趣题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。问笼中各有几只鸡和兔？而这个古代的趣题，包含了很多重要的数学思想方法。一、化归思想化归

2、是基本而典型的数学思想。化归是指将有待解决的问题，通过转化归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，以求得解决。我们常常用到的如化未知为已知、化难为易、化繁为简、化曲为直等都是这一思想方法的运用。“鸡兔同笼”原题中的数据比较大，不利于首次接触该类问题的人们进行探究，根据化繁为简的思想，先安排数据较小的问题，如“笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有7个头，从下面数，有18只脚。鸡和兔各有几只？”（以下均以此题为例）待人们探索出解决此类问题的一般方法后，再应用于解决《孙子算经》中数据较大的原题，将易如反掌。“鸡兔同笼”问题在生活中有

3、很多变式，比如“龟鹤问题”、“坐船问题”等，这些问题可以通过化归，归结为“鸡兔同笼”问题，再进一步求解，使人们感受“鸡兔同笼”问题的变式及其在生活中的广泛应用，体会“化归法”在解题中的魅力。二、枚举思想仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢5精品好文档，推荐学习交流通过枚举解决问题就是把符合问题的所有可能答案逐个找出，并用某种形式进行整理，从而得到问题的答案。枚举是一种朴素的思想方法，又是一种实用的解决问题的策略。在刚接触“鸡兔同笼”问题时，人们要列式计算往往感到困难。但是，对于数据较小的问题，一些可能的答案却很容易凭经

4、验或直觉得到，可以运用猜测、验证的方法，实际上就是用枚举法（即一一列举）来解决问题，人们一般用顺序枚举法，按从大到小或从小到大依次枚举，可以有效避免疏漏或重复。枚举法常常借助于列表来及时记录了每一种可能的结果。例如上题应用此法可得到鸡有5只、兔有2只。鸡/只12345兔/只65432脚/只2624222018当数据较大时，可以根据数据的特点按一定的间隔或从中间数开始列举，不断优化枚举法，灵活快捷地解决问题。三、数形结合思想“数无形，少直观，形无数，难入微”，利用“数形结合”，可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，使问题化难

5、为易，化繁为简，激发学习兴趣。在解决“鸡兔同笼”问题时，根据上题中数据较小的特点让人们用画图法解题：（如下图），用○表示头，用∣表示脚，先画7个头，如果每个头下都画上2只脚，数一数，共有14只脚，比题中给出的脚数少了4只。2只2只的添，添2次脚刚好18只脚。得到笼中有5只鸡和2只兔。也可以先在每个头下画上4只脚，结果比题中给出的脚数多了10只。2只2只地划去，划5次后脚的数刚好是18只，得到相同答案。仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢5精品好文档，推荐学习交流 运用数形结合，借助于形象的图形来解题，对于初次接触此类问

6、题的人来说，不仅学得兴趣、简单，而且能加深用假设法解题的思路的理解，发展思维能力。四、假设思想假设是一种重要的数学思想方法。假设法是先假定一种情况或结果，然后通过推导、验证来解决问题的方法。合理运用假设法，往往可以使问题化难为易，使解题另辟蹊径，有利于培养灵活的解题技能。用假设法解答上题有多种思路，可以先假设全部都是鸡或全部都是兔，再计算实际与假设情况下总脚数之差，最后推理出鸡和兔的只数。比如假设7只都是鸡，那么兔有（18-7×2）÷（4-2）=2（只），鸡有7-2=5（只）。古人解决“鸡兔同笼”问题的“抬脚法”，其中也应用

7、了“假设法”。五、方程思想方程是刻画现实世界的有效模型，通过把生活语言“翻译”成代数语言，根据问题中的已知数和未知数之间的等量关系，在已知数与未知数之间建立一个等式，这就是方程思想的由来。在“鸡兔同笼”的问题中，可以设鸡或兔中任意一种有X只，然后根据鸡、兔的只数与脚的总只数的关系列方程来解答。例如设兔有X只，则鸡有（7－X）只，可列方程：4X＋2(7－X)=18，解得X=2，于是鸡有：7－2＝5（只）。方程解法思路比较简单，且具有一般性。六、建模思想弗赖登塔尔认为：人们与其学数学，不如学习数学化。在小学阶段，就是把数学研究对

8、象的某些特征进行抽象，用数学语言、图形或模式表达出来，建立数学模型。在解决了“鸡兔同笼”问题后，可以引导人们观察、思考，概括提炼出解题模型：兔数=（实际的脚数－鸡兔总数×2）÷（4－2），鸡数=（鸡兔总数×4－实际的脚数）÷（4－2）。之后在应用中引导人们巩固、扩展这个模型，把“鸡”与“兔