2013年全国高中数学联赛湖南省预赛.docx

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1、2013年湖南省高中数学竞赛试题一、填空题（每小题8分，共72分）1．设，若x>1，则将按从小到大的顺序排列为．2．已知为常数，若，，则的解集为．3．已知向量，，则的最小值为．4．设为数列{}的前项和，若不等式对任何等差数列{}及任何正整数恒成立，则的最大值为．5．平面上三条直线，如果这三条直线将平面划分成六个部分，则可能取值的个数是．6．已知异面直线成角，为空间中一定点，则过点且与均成角的平面的个数是．7．有一个1，2，3，…，9的排列，现将其重新排列，则1和2不在原来位置的概率是．（答案中可含有排列数表示式）8．若，则=．9．今天（2013年7月19日）是星期五，则天之后是星

2、期．二、解答题（共4个小题，共78分）10．（19分）如图所示，在对边乘积相等的圆内接凸四边形ABCD中，M为对角线BD的中点，T为劣弧BC上一点，且CT//DB，求证：A、M、T三点共线．CDTMAB（第10题）11．（19分）已知数列{}满足．（1）求数列{}的通项公式；（2）证明：．12．（20分）已知为椭圆上一点．（1）设直线l为过点P的椭圆的切线，试求过椭圆焦点F(-c,0)且垂直于l的直线方程；（2）求证：椭圆的焦点在椭圆切线上的射影的轨迹是以椭圆的中心为圆心，且过长轴顶点的圆．13．2013个白球和2014个黑球任意排成一列，求证：无论如何排列，都至少有一个黑球，其

3、左侧（不包括它自己）的黑球和白球的个数相等（可以为0）．解答1.提示：a=34x，b=43x-1=341-x，又x>1，则1-x<0.由指数函数y=34x为减函数，可得00，可化为x2-2x+1>0，即x≠1.3.提示：由，得-32y+32z=1，x-y2-z2=1，即-32x-y+z2=1(y-z)=1，进一步变形，得y-z=-23，y+z=2x-

4、1，由于x2+y2+z2=y+z2+y-z22=x2+2x-12+23=3x-232+43，故最小值为434.提示：由题意，an2+sn2n2=a1+n-1d2+1n2na1+nn-12d2=2a12+3n-1a1d+54n-12d2=15a12+35a1+52n-1d2≫15a12.此不等式恒成立，故λ的最大值为15，仅当35a1+52n-1d=0，即n=1-6a15d且6a15d为负整数时，λ取最大值。5.3个提示：易知三条直线相交于一点或其中两条直线平行时，平面被分成六个部分.当3条直线相交于一点（2,2）时，对应一个k值；当直线x+ky=0与x-2y+2=0或者x-2=0

5、平行，则对应两个k值.6.2个提示：原题可简化为已知两条相交直线a、b成60°角，求空间中过交点且与a、b均成45°角的直线的条数.由最小角定理可知答案为2.7.提示：A99-2A88+A77=57A778.提示：由sinx+20°=cosx+10°+cosx-10°，得sinxcos20°+cosxsin20°=2cosxcos10°，等式两边同时除以cosx，得tanx=3.9.四提示：因为31≡3mod7，32≡2mod7，33≡6mod7，34≡4mod7，35≡5mod7，36≡1mod7，37≡3mod7，所以3n在模7的意义下周期为6.又由于2013≡3mod6，从

6、而32013≡33mod7=6mod7.10.由题设，在圆内接四边形ABCD中，AB·CD=BC·DA．连结DT、BT、AC．由CT//DB知四边形DBTC为等腰梯形，从而CD=TB，DT=BC．由AB·CD=BC·DA，可知AB·BT=DT·DA．注意到∠ABT与∠TDA互补，知，，即．由此可知AT过DB的中点，故A、M、T三点共线．11.（1）因为，所以an+1+1=2an+1=22an-1+1=…=2n+1，即n∈N*．所以（2）因为akak+1=2k-12k+1-1=2k-122k-12=12-122k+1-1=12-13×2k+2k-2≥12-13⋅12k，（k=1，2

7、，…，n）所以a1a2+a2a3+…+anan+1≥n2-1312+122+…+12n=n2-131-12n>n2-13又因为akak+1=2k-12k+1-1=2k-122k-12=12-122k+1-1<12，k=1,2,…,n所以综上可知，．12.（1）易知直线l的方程为．①设过焦点F(-c,0)且垂直于l的直线方程为，将F(-c,0)代入方程得，故要求的方程为．②（2）先考察左焦点F(-c,0)在切线上的射影．由①②联立解得其中．③因为为椭圆上一点，所以x02a2+y02