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1、NO.*§5微积分学基本定理定积分计算（续）教学目的：熟练掌握微积分学基本定理及定积分的换元与分部积分法。重点难点：重点为微积分基本定理,难点为泰勒公式的积分型余项。教学方法：讲练结合。本节要在定积分形式下证明连续函数必定存在原函数.一变限积分与原函数的存在性设f在a,b上可积，根据定积分的性质4，对任何xa,b，f在a,x上也可积.于xftdt,xa,b（1）是，由xa定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分.类似可定义变下限的定积xbtdt,xa,b.分：f（2）x与统称为变限积分.注意，在变限积分（1）与（2）中，不可再把积分变量x写成xxdx，以免与积分上、下限的
2、x相混淆.fabftdtb变限积分所定义的函数有着重要的性质．由于ftdt,因此下面只讨论变xx上限积分的情形．定理9．9若f在a,b上可积，则由(1)式所定义的函数在a,b上连续．证对a,b上任一确定的点x，只要xxa,b，按定义式(1)有因f在a,b上有界，可设ftM,ta,b．于是，当x0时有当x0时则有Mx．由此得到即证得在点x连续．由x的任意性，在a,b上处处连续．口定理9．10(原函数存在定理)若f在a,b上连续，则由(1)式所定义的函数在a,b上处处可导，且xdxtdtfx,xa,b.f（3）dxa证对a,b上任一确定的x，当x0且xxa,b时，按定义式（1）和积分第一中
3、值定理，有由于f在点x连续，故有由x在a,b上的任意性，证得是f在a,b上的一个原函数．口本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似不相干的概念之间的内在联系；同时也证明了“连续函数必有原函数”这一基本结论，并以积分形式给出了f的一个原函数．正1N0.*NO.*因为定理9．10的重要作用而被誉为微积分学基本定理．此外，又因f的任意两个原函数只能相差一个常数，所以当f为连续函数时，它的任一原函数F必满足FxxC.ftdtaxa，得到CFa，从而有xF(x)F(a).再令xb,有若在此式中令ftdtabF(x)F(a).ftdta这是牛顿-莱布尼茨公式的又一证明.定理9．11(积分第二中值
4、定理)设函数f在a,b上可积.(ⅰ)若函数g在a,b上减,且gx0,则存在a,b,使(ⅱ)若函数g在a,b上增,且gx0,则存在a,b,使推论设函数f在a,b上可积,若函数g为单调函数,则存在a,b,使积分第二中值定理以及它的推论是今后建立反常积分收敛判别法的工具．二换元积分法与分部积分法定理9．12(定积分换元积分法)若函数f在a,b上连续，在,上连续可微，且满足aa,bb,atb,t,，则有定积分换元公式：bfxdxfttdt（9）a证由于(9)式两边的被积函数都是连续函数，因此它们的原函数都存在．设F是f在a,b上的一个原函数，由复合函数微分法可见Ft是ftt的一个原函数．根据牛
5、顿一莱布尼茨公式，证得从以上证明看到，在用换元法计算定积分时，一旦得到了用新变量表示的原函数后，不必作变量还原，而只要用新的积分限代人并求其差值就可以了．这就是定积分换元积分法与不定积分换元积分法的区别，这一区别的原因在于不定积分所求的是被积函数的原函数，理应保留与原来相同的自变量；而定积分的计算结果是一个确定的数，如果(9)式一边的定积分计算出来了，那么另一边的定积分自然也求得了.注如果在定理9．12的条件中只假定f为可积函数，但还要求是单调的，那么（9）式仍然成立.（本节习题第14题）12.例计算1x0dx解令xsint，当t由0变到时，x由0增到1，故取,0,.应用公式(9)，2
6、22N0.*NO.*并注意到在第一象限中cost0，则有例2计算2sintcos2tdt.0解逆向使用公式(9)，令xcost,dxsintdt,当t由0变到时，x由1减到0，2则有例3计算J1ln1x01x2dx.dx解令xtant，当t从0变到时，x从0增到1.于是由公式（9）及dt241x得到对最末第二个定积分作变换u4t，有它与上面第三个定积分相消．故得事实上，例3中的被积函数的原函数虽然存在，但难以用初等函数来表示，因此无法直接使用牛顿一莱布尼茨公式．可是像上面那样，利用定积分的性质和换元公式(9)，消去了其中无法求出原函数的部分，最终得出这个定积分的值．换元积分法还可用来证
7、明一些特殊的积分性质，如本节习题中的第5，6，7等题．定理9.13(定积分分部积分法)若ux,vx为a,b上的连续可微函数，则有定积分分部积分公式：bbbauxvxdxuxvxaauxvxdx.（10）证因为uv是uvuv在a,b上的一个原函数，所以有bbbuxvxuxvxdxuxvxdx+uxvxdxaaabuxvxa.移项后即为(10)式．为方便起见，公式(10)允许写成buxvxbb（10）uxdvxavxdux.aa例4计算e2ln.x
