2008考研数学四试题详细解析

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1、.com网聚精英,服务精英,成就精英!2008年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(1)设,则()....解:(2)设函数在区间上连续,则是函数的()跳跃间断点.可去间断点.无穷.振荡.解:所以是函数的可去间断点(3)设是连续奇函数,是连续偶函数,区域则正确的()....解:中为奇函数,为偶函数,所以(4)曲线方程为函数在区间上有连续导数,则定积分()曲边梯形面积.梯形面积.曲边三角形面积.三角形面积.解:答案

2、C解:11打造中国教育培训的沃尔玛!咨询热线:010-51660910.com网聚精英,服务精英,成就精英!其中是矩形面积,为曲边梯形的面积所以为曲边三角形的面积。(5)设为阶非零矩阵,为阶单位矩阵.若,则()不可逆,不可逆.不可逆,可逆.可逆,可逆.可逆,不可逆.解:分析:,,故均可逆。(6)设,则在实数域上与合同的矩阵为().解:选则。记,则则,正、负惯性指数相同,故选(7)随机变量独立同分布且的分布函数为,则的分布函数为()....11打造中国教育培训的沃尔玛!咨询热线:010-51660910.com网聚精英,服务精英,成就精英!解:(

3、8)随机变量,且相关系数,则()....解:选用排除法设,由,知道正相关,得,排除(A)(C)由,得,排除(C)故选择(D)二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.(9)设函数在内连续,则.解:1由(10)已知函数连续且,则曲线上对应处切线方程为.解:由且连续,则,,所以切线方程为:.(11).解:)11打造中国教育培训的沃尔玛!咨询热线:010-51660910.com网聚精英,服务精英,成就精英!(12)微分方程通解是.解:,,.(13)设3阶矩阵的特征值互不相同,若行列式,则的秩为.解:2分析:设的特

4、征值为,,则存在可逆矩阵,使得,故,由,又互不相同,则中有且只有一个为零,故(14)设随机变量服从参数为1的泊松分布,则.解:因为,所以,X服从参数为1的泊松分布,所以三、解答题:15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)求极限.11打造中国教育培训的沃尔玛!咨询热线:010-51660910.com网聚精英,服务精英,成就精英!解:(16)(本题满分10分)设,,求的极值、单调区间和凹凸区间.解:.,令,得.,得,得因此,的单调增区间是;单调减区间是.由,可知为

5、凸区间,为凹区间.由知为极大值.由知为极小值.(17)(本题满分10分)求函数在在约束条件和下的最大和最小值.解:设11打造中国教育培训的沃尔玛!咨询热线:010-51660910.com网聚精英,服务精英,成就精英!得方程组即解得或得,(18)(本题满分10分)设是由方程所确定的函数,其中具有2阶导数且时,求(1)(2)记,求.解:(1),(2)11打造中国教育培训的沃尔玛!咨询热线:010-51660910.com网聚精英,服务精英,成就精英!(19)(本题满分10分)是周期为2的连续函数,(1)证明对任意实数都有(2)证明是周期为2的周期

6、函数.解:(1)对于,令,则因为的周期为2,所以所以(2)因为所以所以所以是周期为2的周期函数(20)(本题满分11分)11打造中国教育培训的沃尔玛!咨询热线:010-51660910.com网聚精英,服务精英,成就精英!设矩阵,现矩阵满足方程,其中,,(1)求证(2)为何值,方程组有唯一解(3)为何值,方程组有无穷多解解:①②方程组有唯一解由,知,又,故。记,由克莱姆法则知,11打造中国教育培训的沃尔玛!咨询热线:010-51660910.com网聚精英,服务精英,成就精英!③方程组有无穷多解由,有,则,故的同解方程组为,则基础解系为,为任意

7、常数。又,故可取特解为,所以的通解为为任意常数。(21)(本题满分11分)11打造中国教育培训的沃尔玛!咨询热线:010-51660910.com网聚精英,服务精英,成就精英!设为3阶矩阵,为的分别属于特征值特征向量,向量满足,证明(1)线性无关;(2)令,求.解:(1)假设线性相关,则可由线性表出,不妨设,其中不全为零(若同时为0,则为0,由可知)又,整理得:则线性相关,矛盾(因为分别属于不同特征值得特征向量,故线性无关).故:线性无关.(2)记则可逆,即:.(22)(本题满分9分)设随机变量与相互独立,概率分布为,概率密度为,记(1)求11

8、打造中国教育培训的沃尔玛!咨询热线:010-51660910.com网聚精英,服务精英,成就精英!(2)求的概率密度解:1.2.当时,当时,当时,当时

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