空间向量与垂直关系.ppt

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1、【课标要求】第2课时空间向量与垂直关系【核心扫描】能利用平面法向量证明两个平面垂直．能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系．求直线的方向向量和平面的法向量．(重点)利用方向向量和法向量处理线线、线面、面面间的垂直问题．(重点、难点)1．2．1．2．空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔_____⇔_______⇔____________________．(2)线面垂直设直线l的方向向量是

2、u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔u∥v⇔______．自学导引a⊥ba·b＝0a1b1＋u＝kva2b2＋a3b3＝0(3)面面垂直设平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔______⇔________⇔____________________．试一试：若平面α与β的法向量分别是a＝(4，0，－2)，b＝(1，0，2)，试判断平面α与β的位置关系．提示∵a·b＝4×1＋0×0－2×2＝0，∴a⊥b，∴α⊥β.

3、u⊥vu·v＝0a1a2＋b1b2＋c1c2＝0空间中垂直关系的证明方法名师点睛线线垂直线面垂直面面垂直①证明两直线的方向向量的数量积为0.②证明两直线所成角为直角.①证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量．②证明直线与平面内的相交直线互相垂直.①证明两个平面的法向量垂直．②证明二面角的平面角为直角.题型一证明线线垂直【例1】规律方法将线线垂直问题转化为向量垂直问题后，注意选择基向量法还是坐标法，熟练掌握证明线线垂直的向量方法是关键．已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都为1，若侧棱C1C的中点为

4、D，求证：AB1⊥A1D.【变式1】证明设AB中点为O，作OO1∥AA1，以O为坐标原点，OB，OC，OO1，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.题型二证明线面垂直【例2】法二如图取D为坐标原点，DA、DC、DD1所在的直线分别作x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设正方体棱长为2，则O(1，1，0)，A1(2，0，2)，G(0，2，1)，B(2，2，0)，D(0，0，0)，而

5、OB∩BG＝B，且A1O⊄面GBD，∴OA1⊥面GBD.法三同方法二建系后，设面GBD的一个法向量为n＝(x，y，z)规律方法向量法证明线面平行的关键是熟练掌握证明线面垂直的向量方法，准确求解各点坐标或用基向量表示所需向量．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC.【变式2】法二设正方体的棱长为2，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2

6、，2)，E(2，2，1)，F(1，1，2)．(12分)在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.题型三证明面面垂直【例3】∵∠BCD＝90°，∴CD⊥BC.又AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.又AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC，【题后反思】利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量

7、垂直，从而得到两个平面垂直．在正棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面GEF⊥平面PBC；【变式3】证明如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA、PB、PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．令PA＝PB＝PC＝3，则A(3，0，0)、B(0，3，0)、C(0，0，3)、E(0，2，1)、F(0，1，0)、G(1，1，0)，P(0，0，0)．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱BB

8、1的中点，在棱DD1上是否存在点P，使MD⊥平面PAC?误区警示审题不清致误【示例】解题时一定要看清题目条件是在“棱”DD1上探求一点，而不是在其延长线上．[正解]由以上步骤得x＝2，∵0≤x<1，∴不存在点P，使MD⊥平面PAC.解答数学题，必须根据题目的特征和给出的信息或启示，充分运用条件，达到尽可能满足结论需要的要求．为此，通过审题全面掌握题意就成了解题的基础．审题时必须要认真仔细，注意隐含条件的挖掘，谨防出错．单击此处