2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第13章 第68讲 二项式定律及其应用

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1、第十三章计数的原理二项式定律及其应用第68讲二项展开式的通项的应用点评二项展开式的通项是求展开式中特殊项的重要工具，通常都是先利用通项由题意列方程，求出Tr+1中的r，再求所需的某项．运算中，要特别注意r的取值范围及n，r的大小关系．对于有三个项的二项式问题，应先把其中的两项并为一项，在应用二项式定理时，在展开式中，并为一项的再使用二项式定理，同时注意r、k的大小关系．【变式练习1】已知的展开式中没有常数项，n∈N*，且2≤n≤8，求n的值.【解析】先求的展开式的通项：(0≤r≤n).于是原式的展开式的项为：,,.若展开式中有常数项，则n=4r,n=4r-1,n=

2、4r-2.故当展开式中没有常数项时，则只有n=4r-3.又2≤n≤8，所以r=2,则n=5.二项式系数与二项展开式的系数的比【解析】二项展开式的通项为.由条件知，得n=8.于是.(1)令，得r=4，所以展开式中x的一次项是；【解析】(2)因为∈N(0≤r≤8,r∈N)，得r=0,4,8，对应的有理项为T1=x4,T5=,T9=.(3)设第r项的系数最大，则，即,所以，解得2≤r≤3.于是系数最大的项为第3项和第4项.点评二项式系数与二项展开式项的系数是不同的两个概念，要明确它们的区别．求展开式项的系数最大的项，关键是列出不等式组，正确应用组合数的计算方法．【变式练

3、习2】已知(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.求：(1)展开式中各项系数的和；(2)展开式中含的项；(3)展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.【解析】展开式的通项为.依题意，，得n=8.(1)令x=1，则各项系数和为(1-2)8=1.(2)通项.令8-5r=3，得r=1.所以展开式中含的项为.二项式系数与二项展开式的系数和【例3】在(2x－3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项、偶数项的二项式系数和；(4)奇数项、偶数项系数的和．点评(a＋b)n展开式各二项式系数和为2n，只与n有关，而展

4、开式中各项的系数和还与a，b中的系数有关，一般用赋值法求解；而展开式奇数项的二项式系数和与偶数项二项式系数和相等，而系数和一般不具有类似性质，要用比较的方法学习．二项式定理的应用点评抓住二项展开式的特点，对已知问题进行整体转化．对于有规律的组合式子的研究，可以从整体结构出发，向二项式定理转化，这样可以简化解决问题的过程．1.在二项式的展开式中，含x4的项的系数是.【解析】通项.由10-3r=4,得r=2,则含x4的项的系数是.10116205.已知的展开式中偶数项的二项式系数之和比(a+b)2n的展开式中奇数项的二项式系数之和小120，求第一个展开式的第三项.【解

5、析】第一个展开式中偶数项的二项式系数之和为2n-1，第二个展开式中奇数项的二项式系数之和为22n-1.依题意有22n-1=2n-1+120，所以2n=16,则n=4.故第一个展开式的第三项.