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1、著名几何定理目录(带“*”的表示作为了解或“证明：略”)：*25、莫利定理（Morley'stheorem）：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相交得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。26、笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。27、蝴蝶定理（ButterflyTheorem）：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC
2、各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。28、弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半29、相交弦定理：若圆内任意弦AB、弦CD交于点P，则PA·PB=PC·PD30、正弦，余弦定理，各种三角函数定理。著名几何定理1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）证明：“如果将大正方形边长为c的小正方形沿对角线切开，则回到了加菲尔德证法。相反，若将上图中两个梯形拼在一起，就变为了此证明方法。大正方形的面积等于中间正方形的面积加上四个三角形的面积，即:①CD^2=AD·BD;②AC^2=AD·AB;③BC^2=BD·A
3、B;④AC·BC=AB·CD证明：①∵CD^2+AD^2=AC^2,CD^2+BD^2=BC^2∴2CD^2+AD^2+BD^2=AC^2+BC^2∴2CD^2=AB^2-AD^2-BD^2∴2CD^2=(AD+BD)^2-AD^2-BD^2∴2CD^2=AD^2+2AD×BD+BD^2-AD^2-BD^2∴2CD^2=2AD·BD∴CD^2=AD·BD②∵CD^2=AD·BD(已证)∴CD^2+AD^2=AD·BD+AD^2∴AC^2=AD·(BD+AD)∴AC^2=AD·AB③BC^2=CD^2+BD^2BC
4、^2=AD×BD+BD^2BC^2=(AD+BD)·BDBC^2=AB·BD∴BC^2=AB·BD④∵S△ACB=1/2AC×BC=1/2AB×CD∴1/2AC×BC=1/2AB×CD∴AC×BC=AB×CD2、射影定理（欧几里得定理）3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分（重心定理）证明：∵AD=AB/2，∴HF平行BE。又∵∠BGE=∠FGH。∴△BGE∽△FGH∴BG/GF=BE/FH。又∵FH=DH∴BG/GF=BE/FH=BE/DH=2。∴BG=（2/3）BF4、设三角形A
5、BC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL证明：作ABC的外接圆，直径CN，连接AN、BN∵CN是直径∴NB⊥BC，NA⊥AC∵AB⊥BC，BE⊥AC∴NB//AB，NA//BE∴四边形ANBH是平行四边形∴AH＝NB∵OM⊥BC∴M是BC的中点而O是CN的中点∴OM是△BCN的中位线∴OM＝NB/2∴AH＝2OM设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。联结AG并延长交BC于D,则可知D为BC中点。联结OD，又因为O为外心，所以OD⊥BC。联结AH并延长交BC于E,因H为垂心
6、,所以AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G为重心，则GA:GD=2:1。联结CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点。同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF联结FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以HA:OD=GA:GD=2:1又∠ODA=∠EAD
7、，所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠AGH,又联结AG并延长，所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O、G、H三点共线。5、欧拉定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线（欧拉线），而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半6、三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆。通常称这个圆为九点圆（nine-pointcircle），或欧拉圆、费尔巴哈圆。作图如下：△ABC的BC边垂足为D，BC边中点为L，AC边垂足为E，AC边中
8、点为M,AB边垂足为F，AB边中点为N,垂心为H，AH,BH,CH中点分别为P,Q,R（思路：以PL为直径，其它任意某点，去证P某L为90°）证明：（由中位线）PM∥CH，LM∥AB，又CH⊥AB∴PM⊥LM，又PD⊥LD∴PMDL共圆。（由中位线）PR∥AC，LR∥BH，BH⊥AC，所以PR⊥LR∴PMRDL五点共圆。PE为Rt△AHE斜边中线∴角PEA等于PAE同理∠
