控制科学与工程研究生专业基础课程-4.ppt

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1、控制科学与工程研究生专业基础课程-4第四章线性系统的能控性与能观测性主要内容：能控性与能观测性的定义义§1线性连续定常系统的能控性判据§2线性连续定常系统的能观性判据§3对偶原理§4能控规范型和能观测规范§5线性系统的结构分解§6一个系统中，输入和输出表征系统的外部变量，状态是系统的内部变量。若系统状态内的每一个状态变量的运动都可以由输入来影响和控制而由任意的始发点到达原点，则系统能控。若系统状态内的所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反映，则系统是可观测的。1-1能控性与能观测性的直观讨论:§1

2、能控性与能观测性的定义1)上式中，若取初始时刻t0的一个非零初始状态x0，存在一个时刻t1和一个无约束容许控制u(t)，使状态从x0转到x(t1)=0，则x0是在t0时刻能控。2)若状态空间中所有非零状态都是在t0时刻能控，则称系统完全能控。3)若状态空间中有一个或多个非零状态在t0时刻不能控，则称系统不完全能控。PS：若由零状态转到非零状态，则称系统能达。1-2能控性定义：（线性时变系统）§1能控性与能观测性的定义(4-1)1-3能观测性定义：（线性时变系统）我们在第二章得出了：§1能控性与能观测性的

3、定义(4-2)(4-3)线性时变系统的输入输出方程：§1能控性与能观测性的定义将(4-3)带入系统方程，得：在研究系统的能观测性时，y和u都假定为已知，x0未知，则有：(4-4)(4-5)定义4-1：Σ中，若对初始时刻t0的一个非零初始状态x0，存在一个t1，对所有t(介于t0与t1之间)有y(t)=0，则x0在时刻t不能观测。定义4-2：Σ中，若状态空间中所有非零状态都不是t0时刻的不能观测状态，则称系统在时刻t0是完全能观测的。定义4-3：Σ中，状态空间中存在一个或一些非零状态时不能观测的，则Σ在t

4、0时刻不完全观测。§1能控性与能观测性的定义1)秩判据：线性定常系统为完全能控的充要条件是：2-1对线性定常系统：§2线性连续定常系统的能控性判据(4-6)(4-7)已知线性定常系统的状态方程为：§2线性连续定常系统的能控性判据2)约当规范型：线性定常系统完全能控的充要条件：当A的特征值两两相异时，由方程导出的对角规范形：中，B不包含元素全为0的行。(4-8)当A的特征值为：λ1(σ1重)，λ2(σ2重)，…，λl(σl重)且(σ1+σ2+…+σl)=n为对系统方程导出的约当规范形：§2线性连续定常系统

5、的能控性判据(4-9)(4-10)其中：§2线性连续定常系统的能控性判据(4-11)(4-12)对i=1,2…均为行线性无关。而的最后一行所组成的矩阵：§2线性连续定常系统的能控性判据3)能控性判据的s域形式：单输入-单输出线性定常系统为：设初始条件为0，对(4-13)取拉氏变换：(4-13)(4-14)§2线性连续定常系统的能控性判据根据传递函数的定义，由(4-14)得：(4-15)定义状态-输入的传递函数为：(4-16)定理4-1：状态完全能控的充要条件是：状态-输入传递函数无相消因子即无零极相消的

6、现象。线性定常系统，定义n×kr阶常阵因为系统2-2能控性指数：能控，所以当k=n时，Qn即为能控矩阵Qc，且rankQn=n。现一次将k由1增加，直到k=μ时，使rankQu=n，则必存在一个使rankQk=n成立的k的最小正整数μ为能控指数。数学定义式为：§2线性连续定常系统的能控性判据(4-17)推论4-1：已知系统方程，记其能控指数为μ，并设rankB=r，则必成立：对于单输入单输出系统，也即r=1时，系统的能控指数为μ=n。线性定常系统完全能控的充分条件是：§2线性连续定常系统的能控性判据推论

7、4-2：推论4-3：(4-18)(4-19)1)秩判据：线性定常系统为完全能观的充要条件为：§3线性连续定常系统的能观性判据3-1线性定常系统能观性判据(4-20)(4-21)考虑输入u=0，状态与输出方程§3线性连续定常系统的能观性判据2)约当规范形判据：线性定常系统为完全能观的充要条件：A的特征值两两相异，则由系统方程所导出的对角规范形：(4-22)中，C不包含元素全为零的列。当A的特征值为：λ1(σ1重)，λ2(σ2重)，…，λl(σl重)且(σ1+σ2+…+σl)=n为对系统方程导出的约当规范形

8、：§3线性连续定常系统的能观性判据(4-23)其中：(4-24)§3线性连续定常系统的能观性判据(4-25)(4-26)而由第一列组成的矩阵C，对i=1,2…均列线性无关。§3线性连续定常系统的能观性判据3)能观测性判据的s域形式：单输入-单输出线性定常系统为：设初始条件为0，对(4-13)取拉氏变换：(4-27)(4-28)§3线性连续定常系统的能观性判据根据传递函数的定义，得：定义状态-输出的传递函数为：定理4-2：状态完全能控的充要条