二次函数与相似三角形综合.docx

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1、第10讲：二次函数中因动点产生的相似三角形问题l二次函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径：①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角比、对称、旋转等知识来推导边的大小。③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。例题1：已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为

2、B。（1）求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为）（2）连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。例1题图图1图2解：如图2，由抛物线的对称性可知:AO＝AB,∠AOB＝∠ABO.图2若△BOP与△AOB相似,必须有∠POB＝∠BOA＝∠BPO设OP交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,－1)∴直线OP的解析式为由,得.∴P(6,－3)过P作PE⊥x轴,在Rt△BEP中,BE＝2,PE＝3,∴PB＝≠4.∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BP

3、O,∴△PBO与△BAO不相似,同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点.所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP与△AOB相似.例题2：如图所示，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标．（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．CBAPy（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．解：（1）令，得解得令，得∴ABC（2）∵OA=OB=OC=∴BAC=ACO=B

4、CO=∵AP∥CB，∴PAB=过点P作PE轴于E，则APE为等腰直角三角形令OE=，则PE=∴P∵点P在抛物线上∴解得，（不合题意，舍去）∴PE=∴四边形ACBP的面积=AB•OC+AB•PE=(3)．假设存在∵PAB=BAC=∴PAACGM图2CByPA∵MG轴于点G，∴MGA=PAC=在Rt△AOC中，OA=OC=∴AC=在Rt△PAE中，AE=PE=∴AP=设M点的横坐标为，则M①点M在轴左侧时，则(ⅰ)当AMGPCA时，有=GM图3CByPA∵AG=，MG=即解得（舍去）（舍去）(ⅱ)当MAGPCA时有=即解得：（舍去）∴M②

5、点M在轴右侧时，则(ⅰ)当AMGPCA时有=∵AG=，MG=∴解得（舍去）∴M(ⅱ)当MAGPCA时有=即解得：（舍去）∴M∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似M点的坐标为，，练习：如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，6），且△ABE与△ABC的面积之比为3∶2．（1）求直线AD和抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴与轴相交于点F，点Q为直线AD上一点，且△ABQ与△ADF相似，求出点Q点的坐标．【随堂练】姓名：_______班级：_

6、________1．已知抛物线的顶点在y轴上，那么m的值等于．2.如图，已知二次函数y=的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．(1)点A的坐标为_______，点C的坐标为_______；(2)线段AC上是否存在点E，使得△EDC与△AOC相似?若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；3.抛物线的图象如图所示，已知该抛物线与轴交于、两点，顶点为C(1,4)，（1）根据图象所给信息，求出抛物线的解析式；（2）求直线与轴交点的坐标；（3）点是直线上的一点，且与相似，求点的坐标.