数学分析-上册--第三版-华东师范大学数学系-编.doc

《数学分析-上册--第三版-华东师范大学数学系-编.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、数学分析上册第三版华东师范大学数学系编部分习题参考解答P.4习题1．设a为有理数，x为无理数，证明：（1）a+x是无理数；（2）当时，ax是无理数。证明（1）（反证）假设a+x是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知x=a+x–a是有理数。这与题设“x为无理数”矛盾，故a+x是无理数。（2）假设ax是有理数，于是是有理数，这与题设“x为无理数”矛盾，故ax是无理数。3．设，证明：若对任何正数ε有，则a=b。证明由题设，对任何正数ε有，再由教材P.3例2，可得，于是，从而a=b。另证（反证）假设，由实数的

2、稠密性，存在r使得。这与题设“对任何正数ε有”矛盾，于是，从而a=b。5．证明：对任何有（1）；（2）证明（1）（2）因为，所以6．设证明证明建立坐标系如图，在三角形OAC中，OA的长度是，OC的长度是，AC的长度为。因为三角形两边的差大于第三边，所以有7．设，证明介于1与之间。证明因为，所以介于1与之间。8．设p为正整数，证明：若p不是完全平方数，则是无理数。证明（反证）假设为有理数，则存在正整数m、n使得，其中m、n互素。于是，因为p不是完全平方数，所以p能整除n，即存在整数k，使得。于是，，从而

3、p是m的约数，故m、n有公约数p。这与“m、n互素”矛盾。所以是无理数。P.9习题2．设S为非空数集，试对下列概念给出定义：（1）S无上界；若，，使得，则称S无上界。（请与S有上界的定义相比较：若，使得，有，则称S有上界）（2）S无界。若，，使得，则称S无界。（请与S有界的定义相比较：若，使得，有，则称S有界）3．试证明数集有上界而无下界。证明，有，故2是S的一个上界。而对，取，，但。故数集S无下界。4．求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：（1）解，。下面依定义加以验证（可类似进行）。，有，即是

4、S的一个上界，是S的一个下界。，若，则，都有；若，则由实数的稠密性，必有实数r，使得，即，不是上界，所以。（2）解S无上界，故无上确界，非正常上确界为。。，有，即1是S的一个下界；，因为，即不是S的下界。所以。(3)解仿照教材P.6例2的方法，可以验证：。7．设A、B皆为非空有界数集，定义数集证明：（1）；（2）证明（1）因为A、B皆为非空有界数集，所以和都存在。，由定义分别存在，使得。由于，，故，即是数集的一个上界。，（要证不是数集的上界），，由上确界的定义，知存在，使得。于是，再由上确界的定义，知

5、存在，使得。从而，且。因此是数集的上确界，即另证，由定义分别存在，使得。由于，，故，于是。①由上确界的定义，，，使得，，使得，从而，由教材P.3例2，可得②由①、②，可得类似地可证明：P.15习题9．试作函数的图象解是以2π为周期，定义域为，值域为的分段线性函数，其图象如图。11．试问是初等函数吗？解因为，可看成是两个初等函数与的复合，所以是初等函数。12．证明关于函数的如下不等式：（1）当时，（2）当时，证明（1）因为，所以当时，有，从而有。（2）当时，在不等式中同时乘以x，可得，从而得到所需要的不

6、等式。P.20习题1．证明是R上的有界函数。证明因为对R中的任何实数x有所以f在R上有界。2．（1）叙述无界函数的定义；（2）证明为（0，1）上的无界函数；（3）举出函数f的例子，使f为闭区间[0，1]上的无界函数。解（1）设函数，若对任何，都存在，使得，则称f是D上的无界函数。（2）分析：，要找，使得。为此只需。证明，取，则，且，所以f为区间（0，1）上的无界函数。（3）函数是闭区间[0，1]上的无界函数。10．讨论狄利克雷函数，的有界性，单调性与周期性。解函数是有界函数：。不是单调函数。是周期函数

7、，任何一个正有理数都是它的周期，故它没有最小周期。证明如下：设r是任一正有理数。若x是有理数，则是有理数，于是；若x是无理数，则是无理数，于是。任何无理数都不是的周期。