三男四女排队30问小结.ppt

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1、三男四女排队30问小结湖南省洞口一中曾维勇[典例]：有3名男生和4名女生，若分别满足下列条件，则各有多少种不同的排法：1．全体排一排：______________解：无限制条件，问题可以看作：7个元素的全排列A77＝5040.２．选５人排一排：_________________先选后排法：３．甲站在正中间：____________解：位置分析法，先安排甲在第四号位，余下的6个元素的全排列A66=720(变式)7位同学站成一排，其中甲不站在首位:解一：甲站其余六个位置之一有A61种，其余6人全排列有A66种，共有A61A66=4320。解二：从其他6人中先选出一人站首位有A61，剩

2、下6人（含甲）全排列，有A66，共有A61A66=4320。解三：7人全排列有A77，甲在首位的有A66，所以共有A77-A66=7A66-A66=4320。位置分析法４．甲只能站在正中间或两头：___________________利用元素分析法，甲为特殊元素，故先安排甲在左、右、中共三个位置，有种，其余6人全排列，有种．由乘法原理得种．５．甲既不在排头也不在排尾：_______________________________由位置分析法,先从其余6人中选2人放在排头和排尾，再排其它5个位，有：或由元素分析法，先安排甲在中间的位置上为种，再排其余6人有种，故：也可由间接法得：６．

3、甲、乙必须在两头：______________根据分步计数原理：第一步:甲、乙站在两端有A22种；第二步:余下的5名同学进行全排列有A55种则共有A22A55=240种排列方法.①②③④⑤⑥⑦①②③④⑤⑥⑦甲乙乙甲abcdeebdcaA55A55A22A22７．甲、乙不站排头和排尾：____________解法一：第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有A52种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有A55种方法，所以共有A52A55＝2400种方法．解法二：若甲站在排头有A66种方法；若乙站在排尾有A66种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有

4、A55种方法．所以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有A77－4A66＋2A55=2400种．对于“在”与“不在”等有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优限法）。（直接法）（排除法）８．甲不在排头、乙不在排尾：_________________________________位置分析法．先排最左边，除去甲外，有种，余下的6个位置全排有剔除乙在最右边的排法数条件的排法共有种，但应种．则符合９．甲在乙的右边：________________对称性(比例法)１０．甲、乙必须相邻：_____________解：先将甲、乙两位同学

5、“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法．所以这样的排法一共有种．对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）．１１．甲、乙不能相邻：_______________________________解法一：（排除法）A77-A66A22=3600解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有A55种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有A62种方法，cbade所以一共有A55A62=3600种方法．乙甲说明：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）．(比例法)１２．

6、甲、乙、丙三人都相邻：___________________解：先将甲、乙、丙三位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的4个元素（同学）一起进行全排列有种方法；再将甲、乙、丙三人“松绑”进行排列有种方法．所以这样的排法一共有种．１３．甲、乙、丙三人都不相邻：____________________________解：先将其余四个同学排好有A44种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有A53种方法，所以一共有A44A53＝1440种．小结：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）．１４．７人排成一排，其中甲、乙、丙三人中，有两人相邻，但这三

7、人不同时相邻：__________________________________解：（排除法）剔除三人都相邻和三人都不相邻即可.１５．男女生各站在一起：______________________解：将甲、乙、丙三个男同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个女同学“捆绑”在一起看成一个元素，一共有2个元素，先捆后松∴一共有排法种数：（种）.１６．男生必排在一起：______________(或女生必排在一起：______________)解:3个男同学是特殊元素，将