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1、正弦余弦定理证明教案【基础知识精讲】1.正弦定理、三角形面积公式正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于该三角形外接圆的直径，即：===2R.面积公式：S△=bcsinA=absinC=acsinB.2.正弦定理的变形及应用变形：(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(2)sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c(3)sinA=,sinB=,sinC=.应用(1)利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：a.已知两角和任一边，求其他两边和一角.b.
2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况.①A为锐角时②A为直角或钝角时.(2)正弦定理，可以用来判断三角形的形状.其主要功能是实现三角形中边角关系转化.例如：在判断三角形形状时，经常把a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、2RsinC来代替.3.余弦定理在△ABC中，有a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2accosB；c2=a2+b2-2abcosC；变形公式：cosA=,cosB=,cosC=在三角形中，我们把三条边(
3、a、b、c)和三个内角(A、B、C)称为六个基本元素，只要已知其中的三个元素(至少一个是边)，便可以求出其余的三个未知元素(可能有两解、一解、无解)，这个过程叫做解三角形，余弦定理的主要作用是解斜三角形.4.解三角形问题时，须注意的三角关系式：A+B+C=π0＜A，B，C＜πsin=sin=cossin(A+B)=sinC特别地，在锐角三角形中，sinA＜cosB,sinB＜cosC,sinC＜cosA. 【重点难点解析】掌握正、余弦定理，并学会用其余弦定理解三角形.例1 在△ABC中，已知A＞B＞C，且A=2C
4、,b=4,a+c=8，求a、c的长.解：由正弦定理=及A=2C得=,即=,∴cosC=.由已知a+c=8=2b及余弦定理，得cosC====.∴=，整理得(2a-3c)(a-c)=0∴a≠c,∴2a=3c.∵a+c=8,∴a=,c=.例2 在△ABC中，如果lga-lgc=lgsinB=-lg，且B为锐角，试判断此三角形的形状.解：∵lga-lgc=lgsinB=-lg,∴sinB=又∵0°＜B＜90°，∴B=45°由lga-lgc=-lg,得= .由正弦定理得= .即2sin(135°-C)= sinC即2［s
5、in135°cosC-cos135°sinC］=sinC.∴cosC=0,得C=90°又∵A=45°,∴B=45°从而△ABC是等腰直角三角形.例3 如图已知：平行四边形两邻边长为a和b(a＜b)，两对角线的一个交角为θ(0°＜θ＜90°)，求该平行四边形的面积. 分析：由于已知了平行四边形相邻两边长和对角线的一个交角，再考虑到平行四边形的面积是△AOB的四倍，因此只要求OA·OB·sinθ即可.解：设平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O.AB=a,BC=b,∠AOB=θ，又设OA=x,OB=y.在△AO
6、B中，应用余弦定理可得：a2=x2+y2-2xycosθ ①在△BOC中，应用余弦定理可得：b2=x2+y2-2xycos(180°-θ) ②由②-①得：b2-a2=4xycosθ∵0°＜θ＜90°，∴xy= (b＞a)∴S□=4S△AOB=2xysinθ=tanθ例4 在△ABC中，已知4sinBsinC=1,b2+c2-a2=bc,且B＞C，求A、B、C.分析：由于题设条件b2+c2-a2=bc十分特殊，将它与余弦定理对照可得A=60°,这样B+C=120°，于是再
7、利用条件4sinBsinC=1，可求得B与C.解：由余弦定理cosA===.又∵0°＜A＜180°∴A=60°∴B+C=120°,又由于4sinBsinC=1∴4sinBsin(120°-B)=1∴4sinB(cosB+sinB)=1∴sin2B+2sin2B=1∴sin2B=cos2B∴tan2B=,∴2B=30°或2B=210°由于B+C=120°,且B＞C，60°＜B＜120°∴2B=210°,∴B=105°,从而C=15°∴A=60°,B=105°,C=15°例5 已知△ABC中，a，b，c为角A，B，C
8、的对边，且a+c=2b，A-C=,求sinB的值.解法一：由正弦定理和已知条件a+c=2b，得sinA+sinC=2sinB，由和差化积公式得2sin·cos=2sinB由A+B+C=π，得sin=cos又A-C=,得cos=sinB∴cos=2sin·cos又∵0＜＜,cos≠0∴sin=从而cos==∴sinB=· =.解法二：由正弦定理和已知条件a+c
