第四节-电位及其梯度.doc

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1、第一章静电场§4电位及其梯度（P95）1.在夏季雷雨中，通常一次闪电里两点间的电位差约为一百兆伏，通过的电量约为30库仑。问一次闪电消耗的能量是多少？如果用这些能量来烧水，能把多少水从加热到？解：一次闪电消耗的能量等于30库仑的电荷电能的减少量，即设能将质量的水从加热到，则有2.已知空气的击穿场强为伏/米，测得某次闪电的火花长100米，求发生这次闪电时两端的电位差。解：由电位差的定义可得3.证明：在真空静电场中凡是电力线都是平行直线的地方，电场强度的大小必定处处相等；或者换句话说，凡是电场强度的

2、方向处处相同的地方，电场强度的大小必定处处相等。[提示：利用高斯定理和作功与路径无关的性质，分别证明沿同一电力线和沿同一等位面上两点的场强相等。]证明：沿某一条电力线作如图所示的横截面积为、长为的圆柱形高斯面。由于、两点位于同一直线上，因而、的方向相同。该高斯面内无电荷。由高斯定理可得即沿同一电力线上的任意两点的场强相等。23对于某一等位面作如图所示的横截面积为、长为的圆柱形高斯面，其中为等位面，为等位面，点和点在同一电力线上，点和点也在同一电力线上，由上面讨论可知，由静电场环路定理可得即同一等

3、位面上的任意两点的场强相等。4.求与点电荷库仑分别相距为米和米的两点间的电位差。解：点电荷的电场分布为由电位差的定义可得、两点的电位差为5.一点电荷在离它厘米处产生的电位为伏，求。解：取无限远位零电位点，点电荷的电位分布为6.求一对等量同号点电荷联线中点的场强和电位，设电荷都是，两者之间距离为。解：建立如图所示的坐标系，则在两电荷联线的中点，两点电荷产生的场强和电位分别为23，，7.求一对等量异号点电荷联线中点的场强和电位，设电荷都是，两者之间距离为。解：建立如图所示的坐标系，则在两电荷联线的中

4、点，两点电荷产生的场强和电位分别为，，8.如图所示，，是以为中心，为半径的半圆。点有正电荷，点有负电荷。⑴把单位正电荷从点沿移到点，电场力对它作了多少功？⑵把单位负电荷从点沿的延长线移到无穷远处，电场力对它作了多少功？解：⑴选无穷远为零电位点，则点的电位为点的电位23、两点的电位差为故把单位正电荷从点沿移到点，电场力所作的功为（为单位正电荷）⑵故把单位负电荷从点沿的延长线移到无穷远处，电场力所的功为（为单位负电荷）9.两个点电荷的电量都是，相距为。求中垂面上到两者联线中点为处的电位。解：如图，两

5、点电荷在点产生的电位分别为由电位叠加原理，点的电位为10.有两个异号点电荷和（），相距为。⑴证明电位为零的等位面是一个球面；⑵证明球心在这两个点电荷的延长线上，且在点电荷的外边；⑶这球的半径为多少？证明：⑴建立如图所示的坐标系，点电荷、在点产生的电位为对于电位为零的等位面有23所以电位为零的等位面是一个球面。⑵球心的坐标为：（0，，0），球心在点电荷、连线的延长线上，且在是外边。⑶球的半径为11.求电偶极子电位的直角坐标表达式，并用梯度求出场强的直角分量表达式。解：建立如图所示的坐标系。在电偶极

6、子电场中任取一点，点到电偶极子轴线中点的距离为，和到点的距离分别为和。由点电荷电势公式和电势叠加原理可得点的电势为因为，所以，，代入上式可得点的电势为式中，为电偶极子中心与场点的连线和电偶极子轴的夹角，如图所示，且，则点的电势可表示为可见电势是点坐标的函数。点场强在，、方向的分量分别为23于是点的场强为当点在电偶极子轴延长线上时，，，点的场强为当点在电偶极子轴中面线上时，，点的场强为12.证明本章§2习题8附图中电四极子在它的轴线延长线上的电位为（），式中叫做它的电四极矩。利用梯度验证，所得场强

7、公式与该题一致。证明：可以直接利用点电荷电位公式和电位叠加原理计算，也可以看成两个电偶极子进行计算。见图，左、右两个电偶极子在点的电位分别为故点的电位为（）2313.一电四极子如附图所示。证明：当时，它在点产生的电位为（），图中极轴通过正方形中心点，且与一对边平行。解：14.求本章§2习题12中均匀带电圆环轴线上的电位分布，并画曲线。解一：设圆环半径为，所带电量为，建立如图所示坐标。在圆环上任取一长为的电荷元，它的电量为：（电荷线密度：）电荷元在点产生的电势为：整个圆环在点产生的电势为：解二：均

8、匀带电圆环轴线上点的场强为则点的电位为23曲线见图。15.求本章§2习题13中均匀带电圆面轴线上的电位分布，并画曲线。解：将均匀带电圆面分割成同心圆环，半径为、宽为的圆环在轴线上的电位分布为则均匀带电圆面轴线上的电位为曲线见图。16.求本章§3习题3中同心球面在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域内的电位分布，并画曲线。解：在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域内的场强分布为Ⅰ区域内，，；Ⅱ区域内，，；Ⅲ区域内，，。则电位分布为Ⅰ区域内，23Ⅱ区域内，Ⅲ区域内，曲线见图。17.在上题中，保持内球上电量不变，当外球电量改变时，试讨论