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1、第2章2k和3k因子设计2.1因子设计的一般概念很多试验包含着两个．三个或更多的因子．对这些因子产生的效果都要进行研究．一般说来,对这种类型的试验,因子设计方法是最有效的．使用因子设计方法,在每一个完全的试验或试验的多次重复中,各个因子的各个水平的所有可能的组合都要考虑．例如，假若因子A有a个水平，因子B有b个水平．完成全部试验应包合所有的ab个组合．一个因子的效果是由因子水平的改变而引起的反应的变化，经常称为主要效果．因子B因子AB1B2A12030A24052表2.1.l两因子试验数据表之一表2.1.l两因子试验数据表之二例２.1.1设某一试验有两个因子A和B．因子A有两个水平A1，A2
2、，因子B有两个水平B1,B2，试验所得结果数据如表2．1．l所示．因子B因子AB1B2A12040A25012试考察因子A，B的效果．解 先考虑表２．1．1的情形．因子A的主要效果可看成是在A的第一个水平下的平均反应与在第二个水平下的平均反应之差，记为A，即．类似地，因子B的主要效果是．再考虑表2．1．2的情形．因子A的主要效果是，因子Ｂ的主要效果是．分别画出这两种情况的图形，如图2．1．1所示．Ｂ２Ｂ２图 ２.１.１（ａ）无交互作用；（ｂ）有交互作用Ｂ１Ｂ２Ｂ１Ｂ１Ｂ２Ｂ１Ａ２Ａ２Ａ１Ａ１Ｂ２从图2.1.l看出,在(a)中，B1，B2线近似平行．而在（b）中，B1，B2线明显地相交．这说明
3、在第一种情况下，因子A,B之间没有交互作用.第二种情况下，因子A，B之间有交互作用.交互作用是不能忽视的,有时它比因子的作用还要大,不考虑到这一点就可能会犯大的错误,而因子设计方法是不会漏掉交互作用的,因此说，因子设计是有效的设计方法，特别是当交互作用存在的时候．下面只介绍一些特殊情况的设计方法,这些方法广泛地用于某些研究工作当中,同时,也是一些其他设计的基础.一般的和更复杂的情况的设计方法可以参阅书后主要参考书目中的［6］及中译本［20］或其他书籍．2.22k因子设计假设试验中共有k个因子,每个因子都只有两个水平．这些水平可以是数量性的：如温度、压力或时间的两个值；也可以不是数量性的:如两
4、个机器、两种操作方法、因子的出现与不出现两种情况,这些都是质量性的.这种设计的安排总共有2k个不同的组合，若每种组合下取一个观察值，总观察值共有2k个，因此叫做2k因子设计．我们对2k设计作如下假设：(1)因子是固定的；(2)设计是完全随机的；(3)一般都满足正态性；（4）反应近似于线性．2.2.122设计2k设计中最简单的就是22设计,这种情况只有两个因子,每个因子两个水平,这两个水平可以很一般地用“低”（low）和“高”（high）这种形象的方法表示．下面就来看22设计是怎么分析、解决问题的．假设在每一种水平组合下作n次重复观察，即取n个观察值．为分析问题的方便，引进下列记号：A表示因子
5、A的效果，B表示因子B的效果，AB表示交互作用Ａ×B的效果．a表示因子A在高水平、因子B在低水平情况下观察值之和； b表示因子A在低水平、因子B在高水平情况下观察值之和；ab表示因子A，B都在高水平情况下观察值之和，l表示因子A，B都在低水平情况下观察值之和．见图2．2．1．高l低0因子Bab、bbla因子A的平均效果：在B的低水平下为，在B的高水平下为.总平均效果是这两个数的平均值，即0低l高因子A(２.２.１）因子Ｂ的平均效果：在Ａ的低水平下为图2.2.122设计的因子水平组合，在Ａ的高水平下为．总平均效果是这两个数的平均值，即 （２.２.２）交互作用A×B的平均效果AB
6、定义如下：它是在Ｂ的高水平下与在Ｂ的低水平下，Ａ的平均效果之差的平均值，即也可看成在Ａ的高水平下与在Ａ的低水平下，Ｂ的平均效果之差的平均值，即 （２.２.２） 这里介绍一个方便的记忆方法（看图２.２.１中的正方形）．因子A的效果A是右边(高水平)两项之和减去左边(低水平)两项之和,再被2n除；因子B的效果B是上边(高水平)两项之和减去下边(低水平)两项之和,再被2n除；交互用A×B的效果AB是右上方(两高水平)与左下方(两低水平)两项之和减去左上方(A低B高)与右下方（A高B低）两项之和，再被2n除．下面进行方差分析.定义 2.2.1 若有线性组合满
7、足约束条件，则称这样的线性组合为对照(contrast)，并记为（对照） （2.2.4）有了这个定义，则C的离差平方和为（2.2.5）根据式（2.2.4）和式（2.2.5）,从式（2.2.1）,式（2.2.2）和式（2.2.3）,可以定义因子A,B,交互作用A×B的总效果分别为(2.2.6）(2.2.7）(2.2.8)它们都是的ab,a,b和l的线性组合，组合系数只有1和(一1），满足.同时有．
