计算机图形学 第十章ppt课件.ppt

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1、第十章曲线曲面的表示曲线、曲面参数表示的基础知识Bezier曲线B样条曲线Bezier曲面B样条曲面1、1963年美国波音（Boeing）飞机公司的佛格森（Ferguson）最早引入参数三次曲线，将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，构造了组合曲线和由四角点的位置矢量、两个方向的切矢定义的佛格森双三次曲面片。2、1964年，美国麻省理工学院（MIT）的孔斯Coons）用封闭曲线的四条边界定义一张曲面。同年，舍恩伯格（Schoenberg）提出了参数样条曲线、曲面的形式。如何表示象飞机、汽车、轮船等具有复杂外形产品的表面是工程中必须解决的问题。4、1972年，德布尔（deBoor）给出了

2、B样条的标准计算方法。1974年，美国通用汽车公司的戈登（Gorden）和里森费尔德（Riesenfeld）将B样条理论用于形状描述，提出了B样条曲线和曲面。1975年，美国锡拉丘兹（Syracuse）大学的佛斯普里尔（Versprill）提出了有理B样条方法。80年代后期皮格尔（Piegl）和蒂勒（Tiller）将有理B样条发展成非均匀有理B样条方法，并已成为当前自由曲线和曲面描述的最广为流行的技术。3、1971年，法国雷诺（Renault）汽车公司的贝塞尔（Bezier）发表了一种用控制多边形定义曲线和曲面的方法。同期法国雪铁龙Citroen汽车公司的德卡斯特里奥（deCastelijau

3、）也独立地研究出与Bezier类似的方法。10.1参数曲线基础10.1.1曲线的表示形式1、显式表示：如缺陷：不能表示多值曲线或封闭曲线2、隐式表示：缺陷：（1）与坐标轴相关；（2）出现斜率无穷大的情况（垂直曲线）；（3）对于非平面曲线难以表示；（4）不便于计算和编程。3、参数形式表示：（2）例子：直线段的参数表示（1）参数的含义时间，距离，角度，比例等等规范参数区间[0,1]矢量表示形式（3）参数表示与隐式表示的转化例:将二次曲线参数化设t为参数,u为过渡变量,令代入方程得：（4）参数表示形式的特点容易确定边界表示形式不依赖于坐标系的选择几何变换方便计算简便表现能力强，形状易于控制（5）非参

4、数表示形式的特点表示的次数低求交方便判别点是否在曲线（或曲面）上简便10.1.2参数曲线的有关概念设曲线方程为：则P(t)的导数为：1、正则曲线：正则点(P(t0)：对于曲线是所有点都为正则点时，称该曲线为正则曲线2、切矢量：其方向与曲线的变化方向一致3、弧长曲线P=P(t)可以用弧长参数表示P=P(s)4、法矢量设曲线的参数方程为P=P(s),T(s)为曲线上任一点的单位切矢量，若P’’(s)不为零，则称在T’(s)方向上的单位矢量N(s)为曲线在s处的主法矢量。T(s)XN(s)为曲线在P(s)处的副法矢量，记为B(s)。5、曲率曲线的弯曲程度曲率半径6、挠率曲线在法平面内的扭转程度10.

5、1.3参数连续性与几何连续性1、参数连续性：称曲线P=P(t)在t=t0处n阶参数连续，如果它在t0处的n阶左右导数存在，并且满足n阶参数连续记为Cn2、几何连续性（1）曲线在t=t0处零阶几何连续（GC0），若满足（2）曲线在t=t0处一阶几何连续（GC1），若它在该点是GC0连续且满足（3）曲线在t=t0处二阶几何连续（GC2），若它在该点是GC1连续且满足注：（1）几何连续的条件与参数无关（2）参数连续依赖于参数的选取几何连续与参数连续性的关系：（1）若P(t0)是正则点，曲线在t=t0处是C1的，则它在该处也是GC1（2）若曲线P=P(t)在t=t0处的左右一、二阶导数存在，且则曲线在

6、t=t0处的GC2的充要条件是：存在和合使得：10.2参数多项式曲线参数多项式曲线是参数曲线中最简单、理论和应用最成熟的。10.2.1定义与矩阵表示则G=[G0,G1,…,Gn]称为几何矩阵,其中Gi称为控制顶点,有直观的几何意义.M称为基矩阵.例:10.2.2参数多项式曲线的生成计算出曲线上有限个型值点,然后以连接这些型值点的折线替代原曲线.（秦九韶算法/Horner算法）10.3Hermit曲线10.3.1三次Hermit曲线的定义Hermit曲线为P0,P1,R0,R1的加权和10.3.2三次Hermit曲线的形状控制（1）改变端点矢量P0,P1;（2）调节切矢量R0，R1的方向；（3）

7、改变切矢量R0，R1的长度。为了调节切矢量，可再取两个点Q0，Q1Hermite曲线的表达式在几何变换下具有不变性10.3.3曲线的生成10.3.4三次参数样条曲线实际应用中，复杂形状曲线需要连接多段三次曲线起来每段曲线在区间[ti,ti+1]可表示为：在该区间内n+1个方程联立示n+1个R每段曲线为三次Hermit曲线10.4Bezier曲线10.4.1Bernstein基函数的定义及其性质：正