正余弦定理的应用教师.doc

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1、知识梳理1．仰角和俯角与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图所示)2．方位角一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角45°，是指北偏东45°，即东北方向．3．方向角：相对于某一正方向的水平角．(如图所示)①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．③南偏西等其他方向角类似．4．坡角坡面与水平面的夹角．(如图所示)5．坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i＝＝tanα(i为坡比，α为坡角)．典题精析探究点一　与距离有关的问题例1　(201

2、0·陕西)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？解题导引　这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．解　由题意知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴

3、∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理，得＝，∴DB＝＝＝＝10(海里)．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20(海里)，在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×10×20×＝900，∴CD＝30(海里)，∴需要的时间t＝＝1(小时)．故救援船到达D点需要1小时．探究点二　测量高度问题例2　如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB

4、.解题导引　在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解．注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识．解　在△BCD中，∠CBD＝π－α－β.由正弦定理得＝，所以BC＝＝，在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝.变式迁移2　解由题意可知，在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理得，＝，∴BD＝＝20.过B作BE⊥CD于E，显然当人在E处时，测得塔的仰角最大，有∠BEA＝30°.在Rt△BED中，又∵∠BDE＝180°－135°－30°＝15°.∴BE＝DB·sin15°＝20×＝10(－

5、1)．在Rt△ABE中，AB＝BE·tan30°＝(3－)(米)．故所求的塔高为(3－)米．探究点三　三角形中最值问题例3　(2010·江苏)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)，示意图如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.(1)该小组已测得一组α、β的值，算出了tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔实际高度为125m，试问d为多少时，α－β最大？例3　解题导引　平面几何图形中研究或求有关长度、角度、

6、面积的最值、优化设计等问题．而这些几何问题通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之．若研究最值，常使用函数思想．解(1)由AB＝，BD＝，AD＝及AB＋BD＝AD，得＋＝，解得H＝＝＝124(m)．因此，算出的电视塔的高度H是124m.(2)由题设知d＝AB，得tanα＝.由AB＝AD－BD＝－，得tanβ＝.所以tan(α－β)＝＝≤，当且仅当d＝，即d＝＝＝55时，上式取等号，所以当d＝55时，tan(α－β)最大．因为0<β<α<，则0

7、<α－β<，所以当d＝55时，α－β最大．基础演练1．(2011·揭阳模拟)如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为(　A　)A．50mB．50mC．25mD.m2．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为(　C　)A.B.C.D．93．(2011·沧州模拟)某人向正